Área encerrada entre dos parábolas

**(a) [0’75 puntos] Halla los puntos de corte de sus gráficas y realiza un esbozo del recinto que limitan.** Para hallar los puntos de corte entre las gráficas de $f(x)$ y $g(x)$, igualamos ambas expresiones: $$f(x) = g(x) \implies x^2 - 2x = -x^2 + 4x$$ Agrupamos todos los términos en un miembro de la ecuación para obtener una ecuación de segundo grado: $$x^2 + x^2 - 2x - 4x = 0 \implies 2x^2 - 6x = 0$$ Factorizamos la expresión: $$2x(x - 3) = 0$$ De aquí obtenemos dos posibles soluciones para la abscisa $x$: 1. $2x = 0 \implies x_1 = 0$ 2. $x - 3 = 0 \implies x_2 = 3$ Calculamos las ordenadas sustituyendo en cualquiera de las funciones (por ejemplo en $f(x)$): - Para $x_1 = 0$: $f(0) = 0^2 - 2(0) = 0 \implies$ Punto **$(0, 0)$** - Para $x_2 = 3$: $f(3) = 3^2 - 2(3) = 9 - 6 = 3 \implies$ Punto **$(3, 3)$** 💡 **Tip:** Los puntos de corte son fundamentales porque delimitan los extremos de integración para el cálculo del área en el siguiente apartado. ✅ **Puntos de corte:** $$\boxed{(0, 0) \text{ y } (3, 3)}$$

Para realizar el esbozo, analizamos brevemente las funciones, que son dos parábolas: - $f(x) = x^2 - 2x$: Parábola con ramas hacia arriba ($a \gt 0$). Su vértice está en $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2} = 1$. El punto del vértice es $(1, f(1)) = (1, -1)$. Corta al eje $X$ en $x=0$ y $x=2$. - $g(x) = -x^2 + 4x$: Parábola con ramas hacia abajo ($a \lt 0$). Su vértice está en $x = -\frac{4}{2(-1)} = 2$. El punto del vértice es $(2, g(2)) = (2, 4)$. Corta al eje $X$ en $x=0$ y $x=4$. El recinto queda limitado entre $x=0$ y $x=3$, donde la función $g(x)$ queda por encima de $f(x)$.

**(b) [1’75 puntos] Calcula el área de dicho recinto.** El área $A$ del recinto limitado por dos funciones entre dos puntos de corte $a$ y $b$ viene dada por la integral definida de la diferencia de las funciones: $$A = \int_{a}^{b} |g(x) - f(x)| \, dx$$ Observando el esbozo (o evaluando un punto intermedio como $x=1$ donde $g(1)=3$ y $f(1)=-1$), vemos que $g(x) \ge f(x)$ en el intervalo $[0, 3]$. Por tanto: $$A = \int_{0}^{3} [(-x^2 + 4x) - (x^2 - 2x)] \, dx$$ $$A = \int_{0}^{3} (-2x^2 + 6x) \, dx$$ 💡 **Tip:** Siempre resta la función "techo" (la que está arriba) menos la función "suelo" (la que está abajo) para que el resultado del área sea positivo.

Calculamos la primitiva de la función: $$\int (-2x^2 + 6x) \, dx = -\frac{2x^3}{3} + \frac{6x^2}{2} = -\frac{2x^3}{3} + 3x^2$$ Aplicamos la **Regla de Barrow** entre los límites $0$ y $3$: $$A = \left[ -\frac{2x^3}{3} + 3x^2 \right]_{0}^{3}$$ Evaluamos en el límite superior ($x=3$): $$\left( -\frac{2(3)^3}{3} + 3(3)^2 \right) = \left( -\frac{2 \cdot 27}{3} + 27 \right) = (-2 \cdot 9 + 27) = -18 + 27 = 9$$ Evaluamos en el límite inferior ($x=0$): $$\left( -\frac{2(0)^3}{3} + 3(0)^2 \right) = 0$$ Restamos ambos resultados: $$A = 9 - 0 = 9 \text{ unidades cuadradas}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A = 9 \text{ u}^2}$$