Estudio de función exponencial: límites, extremos y curvatura

**(a) [0’75 puntos] Calcula $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ y $\lim_{x \to +\infty} f(x)$** Primero, calculamos el límite cuando $x$ tiende a $+\infty$: $$\lim_{x \to +\infty} e^x(x^2 - x + 1) = e^{+\infty} \cdot (+\infty) = (+\infty) \cdot (+\infty) = +\infty$$ Ahora calculamos el límite cuando $x$ tiende a $-\infty$. En este caso, obtenemos una indeterminación del tipo $0 \cdot \infty$: $$\lim_{x \to -\infty} e^x(x^2 - x + 1) = e^{-\infty} \cdot (+\infty) = 0 \cdot \infty$$ Reescribimos la función para aplicar la **Regla de L'Hôpital** (indeterminación $\frac{\infty}{\infty}$): $$\lim_{x \to -\infty} \frac{x^2 - x + 1}{e^{-x}} = \left[ \frac{\infty}{\infty} \right]$$ Derivamos numerador y denominador: $$\lim_{x \to -\infty} \frac{2x - 1}{-e^{-x}} = \left[ \frac{-\infty}{-\infty} \right]$$ Aplicamos L'Hôpital de nuevo: $$\lim_{x \to -\infty} \frac{2}{e^{-x}} = \frac{2}{+\infty} = 0$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la exponencial $e^{-x}$ cuando $x \to -\infty$ se comporta como $e^{+ \infty}$. Al aplicar L'Hôpital, buscamos reducir el grado del polinomio en el numerador. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty, \quad \lim_{x \to -\infty} f(x) = 0}$$

**(b) [1’25 puntos] Halla los extremos relativos de $f$ (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan), determinando si son máximos o mínimos.** Para hallar los extremos relativos, calculamos la primera derivada $f'(x)$ usando la regla del producto: $$f(x) = e^x(x^2 - x + 1)$$ $$f'(x) = e^x(x^2 - x + 1) + e^x(2x - 1)$$ $$f'(x) = e^x(x^2 - x + 1 + 2x - 1) = e^x(x^2 + x)$$ Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$e^x(x^2 + x) = 0$$ Como $e^x \neq 0$ para cualquier $x$, resolvemos: $$x^2 + x = 0 \implies x(x + 1) = 0$$ Los puntos críticos son **$x = 0$** y **$x = -1$**. 💡 **Tip:** La derivada de un producto es $(u \cdot v)' = u'v + uv'$. En funciones de tipo $e^x \cdot g(x)$, la derivada siempre suele quedar como $e^x(g(x) + g'(x))$.

Analizamos el signo de $f'(x) = e^x(x^2 + x)$. Dado que $e^x > 0$ siempre, el signo depende únicamente del polinomio $x^2 + x$. $$ \begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, -1) & -1 & (-1, 0) & 0 & (0, +\infty) \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \text{Creciente} (\nearrow) & \text{Máximo} & \text{Decreciente} (\searrow) & \text{Mínimo} & \text{Creciente} (\nearrow) \end{array} $$ Calculamos los valores de la función (ordenadas) en dichos puntos: - Para $x = -1$: $f(-1) = e^{-1}((-1)^2 - (-1) + 1) = e^{-1}(1 + 1 + 1) = 3e^{-1} = \dfrac{3}{e}$. - Para $x = 0$: $f(0) = e^0(0^2 - 0 + 1) = 1 \cdot 1 = 1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Máximo relativo en } (-1, 3/e) \quad \text{y Mínimo relativo en } (0, 1)}$$

**(c) [0’5 puntos] Determina las abscisas de los puntos de inflexión de la gráfica de $f$.** Para los puntos de inflexión, calculamos la segunda derivada $f''(x)$ a partir de $f'(x) = e^x(x^2 + x)$: $$f''(x) = e^x(x^2 + x) + e^x(2x + 1)$$ $$f''(x) = e^x(x^2 + 3x + 1)$$ Igualamos a cero para encontrar las posibles abscisas de inflexión: $$e^x(x^2 + 3x + 1) = 0 \implies x^2 + 3x + 1 = 0$$ Usamos la fórmula cuadrática: $$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(1)}}{2(1)} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$$ Para confirmar que son puntos de inflexión, comprobamos el cambio de signo de $f''(x)$ en estos valores: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, \frac{-3-\sqrt{5}}{2}) & \frac{-3-\sqrt{5}}{2} & (\frac{-3-\sqrt{5}}{2}, \frac{-3+\sqrt{5}}{2}) & \frac{-3+\sqrt{5}}{2} & (\frac{-3+\sqrt{5}}{2}, +\infty) \\ \hline f''(x) & + & 0 & - & 0 & + \end{array}$$ Como hay cambio de signo en ambos valores, ambas son abscisas de puntos de inflexión. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = \frac{-3 - \sqrt{5}}{2} \quad \text{y} \quad x = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}}$$