Posición relativa y distancia entre rectas

**(a) [1 punto] Determina la posición relativa de las rectas $r$ y $s$.** Primero, extraemos un punto y un vector director de cada recta a partir de sus ecuaciones en forma continua: Para la recta $r$: - Punto $P_r = (-3, 9, 8)$ - Vector director $\vec{v}_r = (-6, 4, 4)$ Para la recta $s$: - Punto $P_s = (3, 9, 8)$ - Vector director $\vec{v}_s = (3, -2, -2)$ 💡 **Tip:** En la ecuación continua $\frac{x-x_0}{v_1} = \frac{y-y_0}{v_2} = \frac{z-z_0}{v_3}$, el punto es $(x_0, y_0, z_0)$ y el vector es $(v_1, v_2, v_3)$.

Comprobamos si los vectores directores son proporcionales para ver si las rectas tienen la misma dirección: $$\frac{-6}{3} = \frac{4}{-2} = \frac{4}{-2} \implies -2 = -2 = -2$$ Como los vectores son proporcionales ($\vec{v}_r = -2 \cdot \vec{v}_s$), las rectas son **paralelas o coincidentes**. Para distinguir entre ambos casos, comprobamos si el punto $P_s(3, 9, 8)$ de la recta $s$ pertenece a la recta $r$ sustituyendo sus coordenadas en la ecuación de $r$: $$\frac{3 + 3}{-6} = \frac{9 - 9}{4} = \frac{8 - 8}{4} \implies \frac{6}{-6} = \frac{0}{4} = \frac{0}{4} \implies -1 \neq 0 = 0$$ Como no se cumple la igualdad en todas sus partes, el punto $P_s \notin r$. ✅ **Resultado (posición relativa):** $$\boxed{\text{Las rectas } r \text{ y } s \text{ son paralelas}}$$

**(b) [1’5 puntos] Calcula la distancia entre $r$ y $s$.** Dado que las rectas son paralelas, la distancia entre ellas es igual a la distancia de un punto cualquiera de una recta a la otra recta. Usaremos la fórmula de la distancia de un punto $P_s$ a la recta $r$: $$d(r, s) = d(P_s, r) = \frac{|\vec{v}_r \times \vec{P_r P_s}|}{|\vec{v}_r|}$$ Primero, calculamos el vector que une ambos puntos: $$\vec{P_r P_s} = P_s - P_r = (3 - (-3), 9 - 9, 8 - 8) = (6, 0, 0)$$ 💡 **Tip:** La distancia entre rectas paralelas se reduce a la distancia de un punto a una recta, cuya interpretación geométrica es el área del paralelogramo formado por el vector director y el vector unión dividido por la base.

Calculamos el producto vectorial $\vec{v}_r \times \vec{P_r P_s}$ mediante el determinante: $$\vec{v}_r \times \vec{P_r P_s} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -6 & 4 & 4 \\ 6 & 0 & 0 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus o por los elementos de la tercera fila (que tiene más ceros): $$\vec{v}_r \times \vec{P_r P_s} = 6 \cdot \begin{vmatrix} \vec{j} & \vec{k} \\ 4 & 4 \end{vmatrix} = 6 \cdot (4\vec{j} - 4\vec{k}) = (0, 24, -24)$$ Ahora calculamos su módulo: $$|\vec{v}_r \times \vec{P_r P_s}| = \sqrt{0^2 + 24^2 + (-24)^2} = \sqrt{576 + 576} = \sqrt{1152}$$ Simplificando: $$|\vec{v}_r \times \vec{P_r P_s}| = 24\sqrt{2}$$

Calculamos el módulo del vector director $\vec{v}_r$: $$|\vec{v}_r| = \sqrt{(-6)^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 16 + 16} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}$$ Finalmente, aplicamos la fórmula de la distancia: $$d(r, s) = \frac{24\sqrt{2}}{2\sqrt{17}} = \frac{12\sqrt{2}}{\sqrt{17}}$$ Racionalizamos multiplicando por $\sqrt{17}$: $$d(r, s) = \frac{12\sqrt{2} \cdot \sqrt{17}}{17} = \frac{12\sqrt{34}}{17}$$ Calculando el valor aproximado: $$d(r, s) \approx 4,115 \text{ unidades}$$ ✅ **Resultado (distancia):** $$\boxed{d(r, s) = \dfrac{12\sqrt{34}}{17} \text{ u}}$$