Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones con parámetros

**(a) [1’75 puntos] Clasifícalo según los distintos valores de $k$.** En primer lugar, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ del sistema: $$A = \begin{pmatrix} 1 & k+1 & 2 \\ k & 1 & 1 \\ 1 & -2 & -1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} 1 & k+1 & 2 & -1 \\ k & 1 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & -1 & k+1 \end{pmatrix}$$ Para discutir el sistema, calcularemos el determinante de la matriz $A$ para ver cuándo su rango es máximo. 💡 **Tip:** El Teorema de Rouché-Frobenius nos dice que si $rg(A) = rg(A^*) = n$ (nº incógnitas), el sistema es compatible determinado; si $rg(A) = rg(A^*) < n$ es compatible indeterminado; y si $rg(A) \neq rg(A^*)$ es incompatible.

Calculamos $|A|$ aplicando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & k+1 & 2 \\ k & 1 & 1 \\ 1 & -2 & -1 \end{vmatrix} = [1\cdot 1\cdot (-1) + (k+1)\cdot 1\cdot 1 + 2\cdot k\cdot (-2)] - [2\cdot 1\cdot 1 + 1\cdot 1\cdot (-2) + (-1)\cdot k\cdot (k+1)]$$ $$|A| = [-1 + k + 1 - 4k] - [2 - 2 - (k^2 + k)]$$ $$|A| = [-3k] - [-k^2 - k] = k^2 - 2k$$ Igualamos el determinante a cero para hallar los valores críticos: $$k^2 - 2k = 0 \implies k(k - 2) = 0 \implies k = 0, \quad k = 2$$ $$\boxed{|A| = k^2 - 2k}$$

Si $k \neq 0$ y $k \neq 2$, el determinante de $A$ es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Esto implica que el rango de la matriz de coeficientes es 3. Como la matriz ampliada $A^*$ es de dimensión $3 \times 4$, su rango máximo también es 3. Por tanto: $$rg(A) = rg(A^*) = 3 = \text{nº de incógnitas}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } k \neq 0 \text{ y } k \neq 2, \text{ el sistema es Compatible Determinado (SCD)}}$$

Si $k = 0$, la matriz ampliada es: $$A^* = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$ Sabemos que $|A| = 0$, por lo que $rg(A) < 3$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo en $A$: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0 \implies rg(A) = 2$$ Ahora estudiamos el rango de $A^*$ comprobando el determinante de la submatriz formada por las columnas 1, 2 y 4: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix} = (1 + 2 + 0) - (-1 - 4 + 0) = 3 - (-5) = 8 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 no nulo en $A^*$, entonces $rg(A^*) = 3$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } k = 0, rg(A) = 2 \neq rg(A^*) = 3. \text{ El sistema es Incompatible (SI)}}$$

Si $k = 2$, la matriz ampliada es: $$A^* = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & -1 & 3 \end{pmatrix}$$ Como $|A| = 0$, el $rg(A) < 3$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 6 = -5 \neq 0 \implies rg(A) = 2$$ Comprobamos el rango de $A^*$ orlando ese menor con la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & 3 & -1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & 3 \end{vmatrix} = (3 + 6 + 4) - (-1 - 4 + 18) = 13 - 13 = 0$$ Como todos los menores de orden 3 que incluyen la cuarta columna son cero (podríamos comprobar el otro, pero por propiedades de combinación lineal se ve), entonces $rg(A^*) = 2$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } k = 2, rg(A) = rg(A^*) = 2 < 3. \text{ El sistema es Compatible Indeterminado (SCI)}}$$

**(b) [0’75 puntos] Resuélvelo para el caso $k = 2$.** Como hemos visto que para $k=2$ el $rg(A)=2$, el sistema es equivalente a usar dos ecuaciones linealmente independientes. Usamos las dos primeras y pasamos $z$ al otro lado como parámetro $z = \lambda$: $$\begin{cases} x + 3y = -1 - 2\lambda \\ 2x + y = 2 - \lambda \end{cases}$$ Resolvemos por sustitución o reducción. De la segunda ecuación: $y = 2 - \lambda - 2x$. Sustituyendo en la primera: $$x + 3(2 - \lambda - 2x) = -1 - 2\lambda$$ $$x + 6 - 3\lambda - 6x = -1 - 2\lambda \implies -5x = -7 + \lambda \implies x = \frac{7 - \lambda}{5}$$ Calculamos $y$: $$y = 2 - \lambda - 2\left(\frac{7 - \lambda}{5}\right) = \frac{10 - 5\lambda - 14 + 2\lambda}{5} = \frac{-4 - 3\lambda}{5}$$ 💡 **Tip:** Siempre indica que $\lambda \in \mathbb{R}$ al dar la solución de un SCI. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\left( \frac{7 - \lambda}{5}, \frac{-4 - 3\lambda}{5}, \lambda \right) \text{ con } \lambda \in \mathbb{R}}$$