Tangente, intersección y área entre curvas

**(a) [0’75 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 1$.** La ecuación de la recta tangente en $x=a$ viene dada por: $$y - f(a) = f'(a)(x - a)$$ Primero, calculamos la imagen de la función en $x=1$: $$f(1) = 1^3 - 4(1) = 1 - 4 = -3$$ El punto de tangencia es $(1, -3)$. Calculamos la derivada de la función para obtener la pendiente: $$f'(x) = 3x^2 - 4$$ Evaluamos la derivada en $x=1$ para hallar la pendiente $m$: $$m = f'(1) = 3(1)^2 - 4 = 3 - 4 = -1$$ 💡 **Recuerda:** La derivada de una función en un punto es igual a la pendiente de la recta tangente en dicho punto.

Sustituimos el punto $(1, -3)$ y la pendiente $m = -1$ en la fórmula de la recta: $$y - (-3) = -1(x - 1)$$ $$y + 3 = -x + 1$$ $$y = -x - 2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{y = -x - 2}$$ Notamos que la recta obtenida coincide exactamente con la recta dada en el apartado (b).

**(b) [0’75 puntos] Esboza el recinto limitado por la gráfica de $f$ y la recta $y = -x - 2$, determinando los puntos de corte de ambas gráficas.** Para hallar los puntos de corte, igualamos la función $f(x) = x^3 - 4x$ con la recta $g(x) = -x - 2$: $$x^3 - 4x = -x - 2$$ $$x^3 - 3x + 2 = 0$$ Sabemos por el apartado anterior que en $x=1$ hay una tangencia, por lo que $x=1$ debe ser una raíz (probablemente doble). Comprobamos por Ruffini: $$\begin{array}{r|rrrr} & 1 & 0 & -3 & 2 \\ 1 & & 1 & 1 & -2 \\ \hline & 1 & 1 & -2 & 0 \\ 1 & & 1 & 2 & \\ \hline & 1 & 2 & 0 & \end{array}$$ Las raíces son $x=1$ (doble) y $x=-2$. Calculamos las ordenadas de los puntos de corte: - Para $x=1 \implies y = -(1) - 2 = -3$. Punto: $(1, -3)$. - Para $x=-2 \implies y = -(-2) - 2 = 0$. Punto: $(-2, 0)$. ✅ **Puntos de corte:** $$\boxed{(1, -3) \text{ y } (-2, 0)}$$

Para esbozar el recinto, tenemos en cuenta: 1. La función cúbica $f(x) = x^3 - 4x$ pasa por $(-2, 0)$, $(0, 0)$ y $(2, 0)$. 2. La recta $y = -x - 2$ es tangente a la curva en $(1, -3)$ y la corta en $(-2, 0)$. 3. Entre $x = -2$ y $x = 1$, determinamos qué función está por encima evaluando en un punto intermedio (por ejemplo $x = 0$): - $f(0) = 0$ - $g(0) = -2$ Como $0 \gt -2$, la gráfica de $f(x)$ está por encima de la recta en este intervalo. "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x) = x^3 - 4x", "color": "#2563eb" }, { "id": "g", "latex": "g(x) = -x - 2", "color": "#ef4444" }, { "id": "reg", "latex": "-x - 2 \\le y \\le x^3 - 4x \\left\\{-2 \\le x \\le 1\\right\\}", "color": "#93c5fd" } ], "bounds": { "left": -4, "right": 4, "bottom": -5, "top": 5 } } }

**(c) [1 punto] Calcula el área del recinto anterior.** El área del recinto limitado por dos funciones se calcula mediante la integral definida de la diferencia de las funciones (la superior menos la inferior) entre los puntos de corte: $$A = \int_{-2}^{1} [f(x) - g(x)] \, dx$$ Sustituimos las expresiones: $$A = \int_{-2}^{1} [(x^3 - 4x) - (-x - 2)] \, dx = \int_{-2}^{1} (x^3 - 3x + 2) \, dx$$ 💡 **Tip:** Asegúrate siempre de restar la función inferior de la superior para que el área resulte positiva. Si no estás seguro, usa valor absoluto.

Calculamos la integral definida: $$A = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{3x^2}{2} + 2x \right]_{-2}^{1}$$ Aplicamos la regla de Barrow: $$A = \left( \frac{1^4}{4} - \frac{3(1)^2}{2} + 2(1) \right) - \left( \frac{(-2)^4}{4} - \frac{3(-2)^2}{2} + 2(-2) \right)$$ $$A = \left( \frac{1}{4} - \frac{3}{2} + 2 \right) - \left( \frac{16}{4} - \frac{12}{2} - 4 \right)$$ $$A = \left( 0.25 - 1.5 + 2 \right) - \left( 4 - 6 - 4 \right)$$ $$A = (0.75) - (-6) = 0.75 + 6 = 6.75$$ Expresado en fracción: $$A = \frac{3}{4} + 6 = \frac{3 + 24}{4} = \frac{27}{4}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A = \frac{27}{4} \text{ u}^2 \approx 6.75 \text{ u}^2}$$