Estudio de crecimiento, extremos y curvatura en un intervalo cerrado

**(a) [0’75 puntos] Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$.** Para estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función $f(x) = x^2 - 8 \ln(x)$ en el intervalo $[1, e]$, primero calculamos su derivada: $$f'(x) = 2x - \frac{8}{x}$$ Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$2x - \frac{8}{x} = 0 \implies 2x = \frac{8}{x} \implies 2x^2 = 8 \implies x^2 = 4$$ Esto nos da dos posibles valores: $x = 2$ y $x = -2$. Sin embargo, dado que el dominio de la función está restringido al intervalo $[1, e]$ (donde $e \approx 2.718$), solo el valor $x = 2$ pertenece al dominio de estudio. 💡 **Tip:** Recuerda que al resolver ecuaciones con la variable en el denominador, debemos comprobar que el valor obtenido no anule dicho denominador ($x \neq 0$ en este caso).

Analizamos el signo de $f'(x)$ en el intervalo $[1, e]$ dividiéndolo por el punto crítico $x = 2$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (1, 2) & 2 & (2, e) \\\hline f'(x) & - & 0 & + \\\hline \text{Monotonía} & \text{Decreciente} & \text{Mínimo} & \text{Creciente} \end{array}$$ **Justificación del signo:** - Para $x \in (1, 2)$, por ejemplo $x = 1.5$: $f'(1.5) = 2(1.5) - \frac{8}{1.5} = 3 - 5.33 = -2.33 \lt 0$. - Para $x \in (2, e)$, por ejemplo $x = 2.5$: $f'(2.5) = 2(2.5) - \frac{8}{2.5} = 5 - 3.2 = 1.8 \gt 0$. ✅ **Resultado (crecimiento y decrecimiento):** $$\boxed{\begin{aligned} &\text{Decreciente en } [1, 2) \\ &\text{Creciente en } (2, e] \end{aligned}}$$

**(b) [1 punto] Calcula los extremos absolutos y relativos de la función $f$ (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).** Al tratarse de una función continua en un intervalo cerrado $[1, e]$, los extremos absolutos pueden estar en los extremos del intervalo o en los puntos donde la derivada es cero. Calculamos los valores de la función en los puntos candidatos: 1. **Extremo $x = 1$:** $f(1) = 1^2 - 8 \ln(1) = 1 - 0 = 1$. 2. **Punto crítico $x = 2$:** $f(2) = 2^2 - 8 \ln(2) = 4 - 8 \ln(2) \approx -1.545$. 3. **Extremo $x = e$:** $f(e) = e^2 - 8 \ln(e) = e^2 - 8 \approx 7.389 - 8 = -0.611$. 💡 **Tip:** El valor de $\ln(e) = 1$ y $\ln(1) = 0$. Para comparar los valores sin calculadora, recuerda que $e^2 \approx 7.39$ y $\ln(2) \approx 0.693$.

Comparando los valores obtenidos: - El valor más bajo es $f(2) = 4 - 8\ln(2)$, por lo que hay un **mínimo absoluto** en $x = 2$. Además, como hay un cambio de signo en la derivada de decreciente a creciente, también es un **mínimo relativo**. - El valor más alto es $f(1) = 1$, por lo que hay un **máximo absoluto** en $x = 1$. - En $x = e$ se alcanza un valor localmente máximo respecto a su izquierda, pero el enunciado suele centrarse en absolutos y relativos interiores. ✅ **Resultado (Extremos):** $$\boxed{\begin{aligned} &\text{Máximo absoluto: } x=1, f(1)=1 \\ &\text{Mínimo relativo y absoluto: } x=2, f(2)=4-8\ln(2) \end{aligned}}$$

**(c) [0’75 puntos] Estudia los intervalos de concavidad y de convexidad.** Para estudiar la curvatura, calculamos la segunda derivada partiendo de $f'(x) = 2x - 8x^{-1}$: $$f''(x) = 2 - 8(-1)x^{-2} = 2 + \frac{8}{x^2}$$ Analizamos el signo de $f''(x)$ en el dominio $[1, e]$: - Como $x^2$ siempre es positivo para cualquier $x \in [1, e]$. - El término $\frac{8}{x^2}$ siempre es positivo. - Por lo tanto, $f''(x) = 2 + \frac{8}{x^2} \gt 0$ para todo $x \in [1, e]$. Como la segunda derivada es siempre positiva, la función es convexa (cóncava hacia arriba) en todo su dominio. $$\begin{array}{c|c} x & (1, e) \\\hline f''(x) & + \\\hline \text{Curvatura} & \text{Convexa (\cup)} \end{array}$$ ✅ **Resultado (Curvatura):** $$\boxed{\text{La función es convexa en todo su dominio } [1, e]}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x) = x^2 - 8\\ln(x) \\{1 \\le x \\le e\\}", "color": "#2563eb" }, { "id": "min", "latex": "(2, 4-8\\ln(2))", "color": "#ef4444", "showLabel": true, "label": "Mínimo" } ], "bounds": { "left": 0, "right": 4, "bottom": -3, "top": 2 } } }