Distancia entre el eje OX y una recta

Para calcular la distancia entre dos rectas, primero debemos obtener un punto y un vector director de cada una de ellas. El eje $OX$ es la recta que pasa por el origen de coordenadas y tiene la dirección del primer vector de la base canónica: - **Punto del eje $OX$**: $P_{OX}(0, 0, 0)$. - **Vector director del eje $OX$**: $\vec{u} = (1, 0, 0)$. 💡 **Tip:** Recuerda que los ejes de coordenadas tienen vectores directores unitarios: $OX \to (1,0,0)$, $OY \to (0,1,0)$ y $OZ \to (0,0,1)$.

La recta $r$ viene dada por la intersección de dos planos (forma implícita): $$\begin{cases} 2x - 3y = 4 \\ 2x - 3y - z = 0 \end{cases}$$ Para obtener su vector director $\vec{v}$, podemos realizar el producto vectorial de los vectores normales a los planos, o bien parametrizar la recta. Si restamos las dos ecuaciones: $$(2x - 3y) - (2x - 3y - z) = 4 - 0 \implies z = 4$$ Sustituyendo $z=4$ y despejando $x$ en función de $y$ (haciendo $y = \lambda$): $$2x - 3\lambda = 4 \implies 2x = 4 + 3\lambda \implies x = 2 + \frac{3}{2}\lambda$$ Las ecuaciones paramétricas de $r$ son: $$r: \begin{cases} x = 2 + \frac{3}{2}\lambda \\ y = \lambda \\ z = 4 \end{cases}$$ De aquí extraemos: - **Punto de $r$**: $P_r(2, 0, 4)$ (haciendo $\lambda = 0$). - **Vector director de $r$**: $\vec{v}' = (\frac{3}{2}, 1, 0)$. Para trabajar con números enteros, usamos $\vec{v} = (3, 2, 0)$. $$\boxed{P_r(2, 0, 4), \quad \vec{v}(3, 2, 0)}$$

Calculamos el vector que une un punto de cada recta: $\vec{P_{OX}P_r} = (2, 0, 4) - (0, 0, 0) = (2, 0, 4)$. Ahora estudiamos el rango de la matriz formada por los vectores directores y el vector unión mediante el determinante: $$\det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{P_{OX}P_r}) = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 4 \end{vmatrix}$$ Aplicando la regla de Sarrus o desarrollando por la primera fila: $$\det = 1 \cdot (2 \cdot 4 - 0 \cdot 0) - 0 + 0 = 8$$ Como el determinante es distinto de cero ($\text{det} \neq 0$), los tres vectores son linealmente independientes. Dado que los vectores directores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ no son proporcionales, concluimos que **las rectas se cruzan** en el espacio. 💡 **Tip:** Si el determinante fuera $0$, las rectas serían coplanarias (se cortan o son paralelas).

La distancia entre dos rectas que se cruzan se calcula como el volumen del paralelepípedo definido por los vectores dividido por el área de su base (formada por los vectores directores). Calculamos primero el producto vectorial $\vec{u} \times \vec{v}$: $$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 0 \end{vmatrix} = \vec{i} \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}$$ $$\vec{u} \times \vec{v} = 0\vec{i} - 0\vec{j} + 2\vec{k} = (0, 0, 2)$$ El módulo de este vector es: $$|\vec{u} \times \vec{v}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{4} = 2$$

La fórmula de la distancia entre dos rectas $r$ y $s$ que se cruzan es: $$d(r, s) = \frac{|[\vec{u}, \vec{v}, \vec{P_r P_s}]|}{|\vec{u} \times \vec{v}|}$$ Sustituimos los valores obtenidos: - Valor absoluto del producto mixto: $|8| = 8$. - Módulo del producto vectorial: $2$. $$d(OX, r) = \frac{8}{2} = 4$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{d(OX, r) = 4 \text{ unidades}}$$