Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones lineales con parámetro

**(a) [1’75 puntos] Estudia el sistema para los distintos valores del parámetro $k$.** En primer lugar, escribimos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$, identificando la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} k & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 2k \\ 3 & -1 & -7 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} k & 2 & 0 & 3 \\ -1 & 0 & 2k & -1 \\ 3 & -1 & -7 & k+1 \end{array}\right)$$ Para estudiar el sistema según el Teorema de Rouché-Frobenius, calcularemos el determinante de la matriz $A$ y buscaremos los valores de $k$ que lo anulan. 💡 **Tip:** El sistema tendrá solución única (determinado) cuando el determinante de la matriz de coeficientes sea distinto de cero, ya que en ese caso el rango será máximo e igual al número de incógnitas.

Calculamos $|A|$ aplicando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} k & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 2k \\ 3 & -1 & -7 \end{vmatrix} = (0 + 12k + 0) - (0 - 2k^2 + 14) = 12k + 2k^2 - 14$$ Ordenamos la expresión cuadrática resultante: $$|A| = 2k^2 + 12k - 14$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos de $k$: $$2k^2 + 12k - 14 = 0 \implies k^2 + 6k - 7 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$k = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4(1)(-7)}}{2(1)} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{-6 \pm 8}{2}$$ Esto nos da dos valores: - $k_1 = \frac{2}{2} = 1$ - $k_2 = \frac{-14}{2} = -7$ $$\boxed{|A| = 0 \iff k = 1 \text{ o } k = -7}$$

**Caso 1: $k \neq 1$ y $k \neq -7$** Si $k$ es distinto de $1$ y de $-7$, entonces $|A| \neq 0$. Esto implica que el rango de la matriz de coeficientes es igual al número de incógnitas: $$\text{rg}(A) = 3$$ Como la matriz ampliada $A^*$ es de dimensión $3 \times 4$, su rango también debe ser $3$ (no puede ser mayor al número de filas): $$\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 3 = n \text{ (nº de incógnitas)}$$ Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**, lo que significa que tiene una solución única para cada valor de $k$ en este intervalo. $$\boxed{\text{Si } k \neq 1, -7 \implies \text{Sistema Compatible Determinado}}$$

**Caso 2: $k = 1$** Sustituimos $k = 1$ en la matriz ampliada: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 0 & 3 \\ -1 & 0 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & -7 & 2 \end{array}\right)$$ Sabemos que $|A| = 0$, por lo que $\text{rg}(A) < 3$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = 0 - (-2) = 2 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Ahora estudiamos el rango de $A^*$ orlando dicho menor con la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 0 & -1 \\ 3 & -1 & 2 \end{vmatrix} = (0 - 6 + 3) - (0 + 1 - 4) = -3 - (-3) = 0$$ Como todos los menores de orden 3 que contienen a la matriz $A$ son nulos (incluyendo el determinante de $A$), el rango de la ampliada es: $$\text{rg}(A^*) = 2$$ Como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 \lt 3$, por el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**. $$\boxed{\text{Si } k = 1 \implies \text{Sistema Compatible Indeterminado}}$$

**Caso 3: $k = -7$** Sustituimos $k = -7$ en la matriz ampliada: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} -7 & 2 & 0 & 3 \\ -1 & 0 & -14 & -1 \\ 3 & -1 & -7 & -6 \end{array}\right)$$ Sabemos que $\text{rg}(A) = 2$ porque el menor $\begin{vmatrix} -7 & 2 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = 2 \neq 0$. Comprobamos el rango de $A^*$: $$\begin{vmatrix} -7 & 2 & 3 \\ -1 & 0 & -1 \\ 3 & -1 & -6 \end{vmatrix} = (0 - 6 + 3) - (0 + 7 + 12) = -3 - 19 = -22 \neq 0$$ Dado que existe un menor de orden 3 no nulo en $A^*$, $\text{rg}(A^*) = 3$. Al ser $\text{rg}(A) \neq \text{rg}(A^*)$, por el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Incompatible (SI)**. $$\boxed{\text{Si } k = -7 \implies \text{Sistema Incompatible}}$$

**(b) [0’75 puntos] Resuélvelo para $k = 1$.** Como vimos en el apartado anterior, para $k = 1$ el sistema es Compatible Indeterminado con $\text{rg}(A) = 2$. Usamos las dos primeras ecuaciones (que son linealmente independientes) y pasamos una variable como parámetro. $$\begin{cases} x + 2y = 3 \\ -x + 2z = -1 \end{cases}$$ Sea $z = \lambda$ con $\lambda \in \mathbb{R}$. Despejamos $x$ de la segunda ecuación: $$-x + 2\lambda = -1 \implies x = 1 + 2\lambda$$ Sustituimos $x$ en la primera ecuación para hallar $y$: $$(1 + 2\lambda) + 2y = 3 \implies 2y = 3 - 1 - 2\lambda \implies 2y = 2 - 2\lambda \implies y = 1 - \lambda$$ Por tanto, la solución general es: $$\boxed{\begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = 1 - \lambda \\ z = \lambda \end{cases} \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$ 💡 **Tip:** En sistemas SCI, el número de parámetros necesarios es $n - \text{rg}(A)$. Aquí $3 - 2 = 1$ parámetro.