Cálculo de una primitiva con condición inicial

Para hallar la primitiva $F(x)$ de la función $f(x) = x^2 \cos(x)$, debemos calcular su integral indefinida: $$F(x) = \int x^2 \cos(x) \, dx$$ Como tenemos el producto de un polinomio por una función trigonométrica, utilizaremos el método de **integración por partes**. 💡 **Tip:** Recuerda la regla mnemotécnica **ALPES** para elegir $u$: potencias/polinomios vienen antes que trigonométricas. Por tanto, elegiremos $u = x^2$.

Aplicamos la fórmula de integración por partes: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Elegimos: - $u = x^2 \implies du = 2x \, dx$ - $dv = \cos(x) \, dx \implies v = \sin(x)$ Sustituimos en la fórmula: $$\int x^2 \cos(x) \, dx = x^2 \sin(x) - \int 2x \sin(x) \, dx$$ Extraemos la constante fuera de la integral: $$x^2 \sin(x) - 2 \int x \sin(x) \, dx$$

Para resolver la integral restante, $\int x \sin(x) \, dx$, aplicamos de nuevo el método por partes. Elegimos: - $u = x \implies du = dx$ - $dv = \sin(x) \, dx \implies v = -\cos(x)$ Sustituimos: $$\int x \sin(x) \, dx = x(-\cos(x)) - \int (-\cos(x)) \, dx$$ $$\int x \sin(x) \, dx = -x \cos(x) + \int \cos(x) \, dx$$ $$\int x \sin(x) \, dx = -x \cos(x) + \sin(x)$$ 💡 **Tip:** Ten mucho cuidado con los signos negativos al aplicar la fórmula y al integrar las funciones trigonométricas.

Sustituimos el resultado del paso anterior en la expresión de $F(x)$ obtenida en el paso 2: $$F(x) = x^2 \sin(x) - 2 \left[ -x \cos(x) + \sin(x) \right] + C$$ Simplificamos la expresión: $$F(x) = x^2 \sin(x) + 2x \cos(x) - 2 \sin(x) + C$$ Agrupando términos con $\sin(x)$: $$\boxed{F(x) = (x^2 - 2) \sin(x) + 2x \cos(x) + C}$$

Se nos indica que la gráfica de la primitiva pasa por el punto $(\pi, 0)$, lo que significa que $F(\pi) = 0$. Sustituimos $x = \pi$ en nuestra expresión: $$F(\pi) = (\pi^2 - 2) \sin(\pi) + 2\pi \cos(\pi) + C = 0$$ Sabemos que $\sin(\pi) = 0$ y $\cos(\pi) = -1$: $$(\pi^2 - 2) \cdot 0 + 2\pi \cdot (-1) + C = 0$$ $$-2\pi + C = 0 \implies C = 2\pi$$ Por tanto, la primitiva buscada es: $$\boxed{F(x) = (x^2 - 2) \sin(x) + 2x \cos(x) + 2\pi}$$