Estudio de asíntotas, monotonía e intersección con asíntota horizontal

**(a) [1 punto] Estudia y calcula las asíntotas de la gráfica de $f$.** Primero, observamos el dominio de la función, que ya viene indicado en el enunciado: $D = \mathbb{R} \setminus \{-1, 2\}$. Las asíntotas verticales suelen encontrarse en los puntos que anulan el denominador. Para $x = -1$: $$\lim_{x \to -1} \frac{2x^2}{(x + 1)(x - 2)} = \frac{2}{0} = \infty$$ Para $x = 2$: $$\lim_{x \to 2} \frac{2x^2}{(x + 1)(x - 2)} = \frac{8}{0} = \infty$$ Al ser los límites infinitos, confirmamos que existen asíntotas verticales en ambos puntos. 💡 **Tip:** Si el límite de una función cuando $x \to a$ es $\pm \infty$, entonces $x = a$ es una asíntota vertical. ✅ **Resultado (AV):** $$\boxed{x = -1 \text{ y } x = 2}$$

Para hallar la asíntota horizontal, calculamos el límite de la función cuando $x \to \pm \infty$: $$f(x) = \frac{2x^2}{(x + 1)(x - 2)} = \frac{2x^2}{x^2 - x - 2}$$ $$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{2x^2}{x^2 - x - 2} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2x^2}{x^2} = 2$$ Como el límite es un valor finito $L=2$, existe una asíntota horizontal en $y = 2$. Al existir asíntota horizontal, no existen asíntotas oblicuas. 💡 **Tip:** En funciones racionales, si el grado del numerador es igual al grado del denominador, la asíntota horizontal es el cociente de los coeficientes principales. ✅ **Resultado (AH):** $$\boxed{y = 2}$$

**(b) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$.** Para estudiar la monotonía, primero calculamos la derivada $f'(x)$. Usamos la regla del cociente para $f(x) = \frac{2x^2}{x^2 - x - 2}$: $$f'(x) = \frac{(4x)(x^2 - x - 2) - (2x^2)(2x - 1)}{(x^2 - x - 2)^2}$$ $$f'(x) = \frac{4x^3 - 4x^2 - 8x - (4x^3 - 2x^2)}{(x^2 - x - 2)^2}$$ $$f'(x) = \frac{-2x^2 - 8x}{(x^2 - x - 2)^2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda la regla del cociente: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Igualamos la derivada a cero para hallar los puntos críticos: $$f'(x) = 0 \implies -2x^2 - 8x = 0 \implies -2x(x + 4) = 0$$ Los puntos críticos son $x = 0$ y $x = -4$. Debemos tener en cuenta también los puntos donde la función no existe ($x = -1$ y $x = 2$) para marcar los intervalos en la recta real: $$\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty,-4) & -4 & (-4,-1) & -1 & (-1,0) & 0 & (0,2) & 2 & (2,+\infty) \\\hline f'(x) & - & 0 & + & \n.e. & + & 0 & - & \n.e. & - \end{array}$$ Análisis de los signos: - En $(-\infty, -4)$: $f'(-5) = \frac{-2(25)+40}{+} = \frac{-10}{+} \lt 0$ (**Decrece**) - En $(-4, -1)$: $f'(-2) = \frac{-2(4)+16}{+} = \frac{8}{+} \gt 0$ (**Crece**) - En $(-1, 0)$: $f'(-0.5) = \frac{-2(0.25)+4}{+} = \frac{3.5}{+} \gt 0$ (**Crece**) - En $(0, 2)$: $f'(1) = \frac{-2-8}{+} = \frac{-10}{+} \lt 0$ (**Decrece**) - En $(2, +\infty)$: $f'(3) = \frac{-2(9)-24}{+} = \frac{-42}{+} \lt 0$ (**Decrece**) ✅ **Resultado (Monotonía):** $$\boxed{\text{Crecimiento: } (-4, -1) \cup (-1, 0)}$$ $$\boxed{\text{Decrecimiento: } (-\infty, -4) \cup (0, 2) \cup (2, +\infty)}$$ *Nota: Presenta un mínimo relativo en $x=-4$ y un máximo relativo en $x=0$.*

**(c) [0’5 puntos] Calcula, si existe, algún punto de la gráfica de $f$ donde ésta corta a la asíntota horizontal.** La asíntota horizontal es $y = 2$. Para hallar el punto de corte, igualamos la función a este valor: $$f(x) = 2 \implies \frac{2x^2}{(x + 1)(x - 2)} = 2$$ $$2x^2 = 2(x + 1)(x - 2)$$ $$2x^2 = 2(x^2 - x - 2)$$ $$2x^2 = 2x^2 - 2x - 4$$ Simplificamos restando $2x^2$ en ambos lados: $$0 = -2x - 4$$ $$2x = -4 \implies x = -2$$ El punto de corte tiene coordenada $x = -2$. La coordenada $y$ es, por definición, la de la asíntota, es decir, $y = 2$. ✅ **Resultado (Punto de corte):** $$\boxed{P(-2, 2)}$$