Centro y vértices de un paralelogramo. Plano y área

**(a) [1 punto] Halla la ecuación general del plano que contiene al paralelogramo.** Para hallar la ecuación general de un plano necesitamos un punto y dos vectores directores que no sean paralelos. El plano contiene a los puntos $A$, $B$ y al centro $M$. Calculamos dos vectores contenidos en el plano a partir de los puntos dados: 1. El vector $\vec{AB} = B - A = (0 - 2, -2 - 1, 3 - (-1)) = (-2, -3, 4)$. 2. El vector $\vec{AM} = M - A = (1 - 2, -1 - 1, 0 - (-1)) = (-1, -2, 1)$. 💡 **Tip:** El centro de un paralelogramo es el punto donde se cortan las diagonales, por lo que pertenece al mismo plano que los vértices.

El vector normal $\vec{n}$ al plano se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores directores $\vec{AB}$ y $\vec{AM}$: $$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AM} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2 & -3 & 4 \\ -1 & -2 & 1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante desarrollando por la primera fila: $$\vec{n} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} -3 & 4 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} -2 & 4 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} -2 & -3 \\ -1 & -2 \end{vmatrix}$$ $$\vec{n} = \mathbf{i} (-3 - (-8)) - \mathbf{j} (-2 - (-4)) + \mathbf{k} (4 - 3)$$ $$\vec{n} = 5\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + 1\mathbf{k} = (5, -2, 1)$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial produce un vector perpendicular a los dos vectores originales, ideal para definir la orientación de un plano.

La ecuación general del plano tiene la forma $\pi: Ax + By + Cz + D = 0$. Usamos las componentes del vector normal $(5, -2, 1)$ para los coeficientes $A, B$ y $C$: $$5x - 2y + z + D = 0$$ Para hallar $D$, sustituimos las coordenadas del punto $M(1, -1, 0)$ (también podríamos usar $A$ o $B$): $$5(1) - 2(-1) + 1(0) + D = 0 \implies 5 + 2 + 0 + D = 0 \implies D = -7$$ ✅ **Resultado (Ecuación del plano):** $$\boxed{5x - 2y + z - 7 = 0}$$

**(b) [1’5 puntos] Determina uno de los otros dos vértices y calcula el área de dicho paralelogramo.** En un paralelogramo, el centro $M$ es el punto medio de las diagonales. Si llamamos $C$ al vértice opuesto a $A$, se cumple: $$M = \frac{A + C}{2} \implies C = 2M - A$$ Sustituimos los valores de $M(1, -1, 0)$ y $A(2, 1, -1)$: $$C = 2(1, -1, 0) - (2, 1, -1)$$ $$C = (2, -2, 0) - (2, 1, -1) = (2 - 2, -2 - 1, 0 - (-1)) = (0, -3, 1)$$ De forma análoga, si llamáramos $D$ al opuesto de $B$: $$D = 2M - B = 2(1, -1, 0) - (0, -2, 3) = (2, 0, -3)$$ Como el ejercicio pide determinar "uno de los otros dos", elegimos $C$. ✅ **Resultado (Vértice):** $$\boxed{C(0, -3, 1)}$$

El área de un paralelogramo definido por los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ es el módulo de su producto vectorial. En este caso, el paralelogramo está formado por los lados $\vec{AB}$ y $\vec{AD}$. Calculamos primero el vector $\vec{AD}$: $$\vec{AD} = D - A = (2 - 2, 0 - 1, -3 - (-1)) = (0, -1, -2)$$ Ahora realizamos el producto vectorial $\vec{AB} \times \vec{AD}$: $$\vec{AB} \times \vec{AD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2 & -3 & 4 \\ 0 & -1 & -2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(6 - (-4)) - \mathbf{j}(4 - 0) + \mathbf{k}(2 - 0) = (10, -4, 2)$$ El área es el módulo de este vector: $$\text{Área} = |(10, -4, 2)| = \sqrt{10^2 + (-4)^2 + 2^2} = \sqrt{100 + 16 + 4} = \sqrt{120}$$ Simplificando: $$\sqrt{120} = \sqrt{4 \cdot 30} = 2\sqrt{30} \text{ u}^2$$ 💡 **Tip:** También se podría calcular como el doble del área del triángulo $ABC$, o como $2 \cdot |\vec{AB} \times \vec{AM}|$. Como $\vec{AB} \times \vec{AM} = (5, -2, 1)$, el área es $2 \cdot \sqrt{5^2 + (-2)^2 + 1^2} = 2\sqrt{30}$. ✅ **Resultado (Área):** $$\boxed{\text{Área} = 2\sqrt{30} \approx 10.95 \text{ u}^2}$$