Resolución de una ecuación matricial

Para resolver la ecuación $AXB = C^t$, debemos despejar la matriz $X$. Para ello, multiplicaremos por la inversa de $A$ por la izquierda y por la inversa de $B$ por la derecha. $$A^{-1} \cdot A \cdot X \cdot B \cdot B^{-1} = A^{-1} \cdot C^t \cdot B^{-1}$$ $$I \cdot X \cdot I = A^{-1} \cdot C^t \cdot B^{-1}$$ $$\mathbf{X = A^{-1} \cdot C^t \cdot B^{-1}}$$ Para que esta solución exista, las matrices $A$ y $B$ deben ser **invertibles**, es decir, sus determinantes deben ser distintos de cero. 💡 **Tip:** Recuerda que el orden de los factores importa en el producto de matrices. Si multiplicas por $A^{-1}$ por la izquierda en un lado, debes hacerlo también por la izquierda en el otro.

Primero calculamos el determinante de $A$ mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = (1\cdot 1\cdot 1) + (2\cdot 2\cdot 1) + (0\cdot 0\cdot 2) - (0\cdot 1\cdot 1) - (1\cdot 2\cdot 2) - (2\cdot 0\cdot 1)$$ $$|A| = 1 + 4 + 0 - 0 - 4 - 0 = 1$$ Como $|A| = 1 \neq 0$, existe $A^{-1}$. Calculamos la matriz adjunta y su traspuesta: $$Adj(A) = \begin{pmatrix} +\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} \\ +\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 2 & -1 \\ -2 & 1 & 0 \\ 4 & -2 & 1 \end{pmatrix}$$ La inversa es $A^{-1} = \frac{1}{|A|} (Adj(A))^t$: $$A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} -3 & -2 & 4 \\ 2 & 1 & -2 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & -2 & 4 \\ 2 & 1 & -2 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** La fórmula de la matriz inversa es $A^{-1} = \frac{1}{|A|} Adj(A)^t$.

Calculamos el determinante de $B$: $$|B| = \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0 - 1 = -1$$ Como $|B| = -1 \neq 0$, existe $B^{-1}$. $$Adj(B) = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \implies (Adj(B))^t = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$ $$B^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$ En este caso, $B^{-1} = B$, por lo que la matriz $B$ es involutiva.

Intercambiamos filas por columnas en la matriz $C$: $$C = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \implies C^t = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Si $C$ es de dimensión $2 \times 3$, su traspuesta $C^t$ será de dimensión $3 \times 2$.

Calculamos primero el producto $A^{-1} \cdot C^t$: $$A^{-1} \cdot C^t = \begin{pmatrix} -3 & -2 & 4 \\ 2 & 1 & -2 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3-4+0 & -3-2+8 \\ -2+2+0 & 2+1-4 \\ 1+0+0 & -1+0+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 0 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$ Finalmente, multiplicamos el resultado por $B^{-1}$: $$X = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 0 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0+3 & -1+0 \\ 0-1 & 0+0 \\ 0+1 & 1+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}}$$