Área entre las funciones seno y coseno

**(a) [0’75 puntos] Realiza un esbozo de las gráficas de $f$ y $g$ en el intervalo $[0, \frac{\pi}{2}]$.** Para esbozar las gráficas, analizamos los valores principales de las funciones en el intervalo $[0, \frac{\pi}{2}]$: - Para $f(x) = \text{sen}(x)$: - $f(0) = \text{sen}(0) = 0$ - $f(\frac{\pi}{4}) = \text{sen}(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707$ - $f(\frac{\pi}{2}) = \text{sen}(\frac{\pi}{2}) = 1$ - Para $g(x) = \text{cos}(x)$: - $g(0) = \text{cos}(0) = 1$ - $g(\frac{\pi}{4}) = \text{cos}(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707$ - $g(\frac{\pi}{2}) = \text{cos}(\frac{\pi}{2}) = 0$ Las dos funciones se cortan en el punto donde $\text{sen}(x) = \text{cos}(x)$. En el primer cuadrante, esto ocurre en $x = \frac{\pi}{4}$. - En el intervalo $[0, \frac{\pi}{4}]$, la función coseno está por encima de la función seno ($g(x) \ge f(x)$). - En el intervalo $[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]$, la función seno está por encima de la función coseno ($f(x) \ge g(x)$). 💡 **Tip:** Recuerda que la función seno es creciente en este intervalo, mientras que el coseno es decreciente.

**(b) [1’75 puntos] Calcula el área total de los recintos limitados por ambas gráficas y las rectas $x = 0$ y $x = \frac{\pi}{2}$.** El área total $A$ se compone de dos recintos divididos por el punto de intersección $x = \frac{\pi}{4}$. El área viene dada por la integral del valor absoluto de la diferencia de las funciones: $$A = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} |\text{sen}(x) - \text{cos}(x)| \, dx$$ Separamos la integral en los dos intervalos donde el signo de la diferencia es constante: $$A = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\text{cos}(x) - \text{sen}(x)) \, dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (\text{sen}(x) - \text{cos}(x)) \, dx$$ 💡 **Tip:** El área entre dos curvas $h(x)$ y $k(x)$ desde $a$ hasta $b$ es $\int_a^b |h(x) - k(x)| \, dx$. Siempre restamos la función "superior" menos la "inferior" para que el resultado sea positivo.

Calculamos el área del primer recinto $A_1$ en el intervalo $[0, \frac{\pi}{4}]$ aplicando la Regla de Barrow: $$A_1 = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\text{cos}(x) - \text{sen}(x)) \, dx = [\text{sen}(x) - (-\text{cos}(x))]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = [\text{sen}(x) + \text{cos}(x)]_{0}^{\frac{\pi}{4}}$$ Evaluamos en los límites: $$A_1 = (\text{sen}(\tfrac{\pi}{4}) + \text{cos}(\tfrac{\pi}{4})) - (\text{sen}(0) + \text{cos}(0))$$ $$A_1 = (\tfrac{\sqrt{2}}{2} + \tfrac{\sqrt{2}}{2}) - (0 + 1) = \sqrt{2} - 1$$ $$\boxed{A_1 = \sqrt{2} - 1 \text{ u}^2}$$

Calculamos el área del segundo recinto $A_2$ en el intervalo $[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]$: $$A_2 = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (\text{sen}(x) - \text{cos}(x)) \, dx = [-\text{cos}(x) - \text{sen}(x)]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}$$ Evaluamos aplicando Barrow: $$A_2 = (-\text{cos}(\tfrac{\pi}{2}) - \text{sen}(\tfrac{\pi}{2})) - (-\text{cos}(\tfrac{\pi}{4}) - \text{sen}(\tfrac{\pi}{4}))$$ $$A_2 = (0 - 1) - (-\tfrac{\sqrt{2}}{2} - \tfrac{\sqrt{2}}{2}) = -1 - (-\sqrt{2}) = \sqrt{2} - 1$$ $$\boxed{A_2 = \sqrt{2} - 1 \text{ u}^2}$$

Sumamos ambas áreas para obtener el área total solicitada: $$A = A_1 + A_2 = (\sqrt{2} - 1) + (\sqrt{2} - 1) = 2\sqrt{2} - 2$$ Podemos expresar el resultado factorizando el 2: $$A = 2(\sqrt{2} - 1) \approx 0.828 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = 2\sqrt{2} - 2 \text{ unidades cuadradas}}$$