Extremos absolutos y recta tangente

**(a) [1’75 puntos] Halla los extremos absolutos de $f$ (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) en el intervalo $[\frac{1}{e}, e]$.** Para hallar los extremos absolutos en un intervalo cerrado $[a, b]$, debemos identificar los puntos críticos (donde la derivada es cero o no existe) dentro del intervalo y comparar sus valores con los de los extremos del intervalo. Primero, calculamos la derivada de $f(x) = \frac{1}{x} + \ln(x)$: $$f'(x) = -\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x}$$ Para facilitar el cálculo, sumamos las fracciones: $$f'(x) = \frac{-1 + x}{x^2}$$ Buscamos los puntos críticos haciendo $f'(x) = 0$: $$\frac{x - 1}{x^2} = 0 \implies x - 1 = 0 \implies x = 1$$ Como $x = 1$ pertenece al intervalo $[\frac{1}{e}, e]$ (ya que $\frac{1}{e} \approx 0.36$ y $e \approx 2.71$), es un candidato a extremo absoluto. 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $\frac{1}{x}$ es $-x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$ y la de $\ln(x)$ es $\frac{1}{x}$.

Analizamos el signo de $f'(x)$ en el intervalo dado para entender el comportamiento de la función. El denominador $x^2$ siempre es positivo, por lo que el signo depende solo del numerador $x-1$: $$\begin{array}{c|ccc} x & [1/e, 1) & 1 & (1, e] \\ \hline f'(x) & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \searrow & \min & \nearrow \end{array}$$ - En $[1/e, 1)$, $f'(x) < 0$, luego la función es decreciente. - En $(1, e]$, $f'(x) > 0$, luego la función es creciente. Esto nos indica que en $x = 1$ hay un **mínimo relativo** que, al ser el único en el intervalo, será el **mínimo absoluto**.

Calculamos el valor de la función en el punto crítico y en los extremos del intervalo: 1. **En el punto crítico $x = 1$:** $$f(1) = \frac{1}{1} + \ln(1) = 1 + 0 = 1$$ 2. **En el extremo izquierdo $x = \frac{1}{e}$:** $$f\left(\frac{1}{e}\right) = \frac{1}{1/e} + \ln\left(\frac{1}{e}\right) = e + \ln(e^{-1}) = e - 1 \approx 1.718$$ 3. **En el extremo derecho $x = e$:** $$f(e) = \frac{1}{e} + \ln(e) = \frac{1}{e} + 1 \approx 1.368$$ Comparando los valores: - El valor más pequeño es $1$. - El valor más grande es $e-1$ (ya que $e-1 > 1 + 1/e \iff e - 2 > 1/e \iff 0.718 > 0.368$). ✅ **Resultado (Extremos absolutos):** $$\boxed{\begin{matrix} \text{Mínimo absoluto en } x=1, \text{ valor } f(1)=1 \\ \text{Máximo absoluto en } x=1/e, \text{ valor } f(1/e)=e-1 \end{matrix}}$$

**(b) [0’75 puntos] Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = e$.** La ecuación de la recta tangente en un punto $x = a$ viene dada por: $$y - f(a) = f'(a)(x - a)$$ En este caso, $a = e$. Necesitamos calcular $f(e)$ y $f'(e)$: 1. **Punto de tangencia:** Ya hemos calculado $f(e) = 1 + \frac{1}{e} = \frac{e+1}{e}$. 2. **Pendiente ($m$):** Usamos la derivada hallada en el apartado anterior: $$f'(e) = \frac{e - 1}{e^2}$$ Sustituimos en la fórmula: $$y - \left(1 + \frac{1}{e}\right) = \frac{e - 1}{e^2}(x - e)$$ 💡 **Tip:** La recta tangente siempre tiene la pendiente igual al valor de la derivada en dicho punto.

Operamos para obtener la ecuación de forma explícita: $$y = \frac{e - 1}{e^2}x - e\left(\frac{e - 1}{e^2}\right) + 1 + \frac{1}{e}$$ $$y = \frac{e - 1}{e^2}x - \frac{e - 1}{e} + 1 + \frac{1}{e}$$ $$y = \frac{e - 1}{e^2}x - \left(1 - \frac{1}{e}\right) + 1 + \frac{1}{e}$$ $$y = \frac{e - 1}{e^2}x - 1 + \frac{1}{e} + 1 + \frac{1}{e}$$ $$y = \frac{e - 1}{e^2}x + \frac{2}{e}$$ ✅ **Resultado (Recta tangente):** $$\boxed{y = \frac{e-1}{e^2}x + \frac{2}{e}}$$