Optimización del área de un campo rectangular entre parábolas

**a) La expresión $S(x)$ del área del campo rectangular en función del número real positivo $x$. (4 puntos).** Primero, identificamos las coordenadas de los cuatro vértices del rectángulo en función de la abscisa $x \gt 0$: 1. **Vértice $A$:** Pertenece a $y = 4 - x^2$ con abscisa $x$. Por tanto, $A = (x, 4 - x^2)$. 2. **Vértice $B$:** Pertenece a $y = 4 - x^2$ con abscisa $-x$. Por tanto, $B = (-x, 4 - x^2)$. 3. **Vértice $C$:** Pertenece a $y = x^2 - 16$ con abscisa $x$. Por tanto, $C = (x, x^2 - 16)$. 4. **Vértice $D$:** Pertenece a $y = x^2 - 16$ con abscisa $-x$. Por tanto, $D = (-x, x^2 - 16)$. Dado que $A$ y $B$ están en el arco $-2 \le x \le 2$, el dominio de nuestra variable será $0 \lt x \le 2$. 💡 **Tip:** En un rectángulo cuyos lados son horizontales y verticales, la base es la diferencia de abscisas y la altura es la diferencia de ordenadas.

Calculamos la base y la altura del rectángulo: - **Base ($b$):** Es la distancia horizontal entre $A$ y $B$ (o entre $C$ y $D$): $$b = x - (-x) = 2x$$ - **Altura ($h$):** Es la distancia vertical entre $A$ y $C$ (o entre $B$ y $D$). Como $A$ está por encima de $C$ en el intervalo de interés: $$h = y_A - y_C = (4 - x^2) - (x^2 - 16) = 4 - x^2 - x^2 + 16 = 20 - 2x^2$$ El área $S(x)$ es el producto de la base por la altura: $$S(x) = b \cdot h = 2x \cdot (20 - 2x^2)$$ $$S(x) = 40x - 4x^3$$ ✅ **Resultado (Expresión del área):** $$\boxed{S(x) = 40x - 4x^3, \quad 0 \lt x \le 2}$$

**b) El número real positivo $x$ para el que el área $S(x)$ es máxima. (4 puntos).** Para maximizar el área, calculamos la primera derivada de $S(x)$ e igualamos a cero: $$S'(x) = \frac{d}{dx}(40x - 4x^3) = 40 - 12x^2$$ Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos: $$40 - 12x^2 = 0 \implies 12x^2 = 40 \implies x^2 = \frac{40}{12} = \frac{10}{3}$$ Como buscamos un valor positivo de $x$: $$x = \sqrt{\frac{10}{3}} = \frac{\sqrt{30}}{3} \approx 1.826$$ Observamos que $x \approx 1.826$ está dentro del dominio permitido ($0 \lt x \le 2$). 💡 **Tip:** Recuerda que para que un punto sea un máximo relativo, la derivada debe anularse y la segunda derivada en ese punto debe ser negativa.

Utilizamos el criterio de la segunda derivada para confirmar que se trata de un máximo: $$S''(x) = -24x$$ Para $x = \sqrt{\frac{10}{3}}$: $$S''\left(\sqrt{\frac{10}{3}}\right) = -24\sqrt{\frac{10}{3}} \lt 0$$ Como la segunda derivada es negativa, el área alcanza un **máximo relativo** en ese punto. También podemos estudiar el signo de $S'(x)$ en el intervalo $(0, 2]$: $$ \begin{array}{c|ccc} x & (0, \sqrt{10/3}) & \sqrt{10/3} & (\sqrt{10/3}, 2] \\\hline S'(x) & + & 0 & - \\ S(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array} $$ ✅ **Resultado (Valor de x):** $$\boxed{x = \sqrt{\frac{10}{3}} = \frac{\sqrt{30}}{3} \approx 1.826}$$

**c) El valor del área máxima. (2 puntos).** Sustituimos el valor hallado $x = \sqrt{\frac{10}{3}}$ en la expresión de la función área $S(x) = 2x(20 - 2x^2)$: Como $x^2 = \frac{10}{3}$: $$S\left(\sqrt{\frac{10}{3}}\right) = 2\sqrt{\frac{10}{3}} \left(20 - 2 \cdot \frac{10}{3}\right)$$ $$S\left(\sqrt{\frac{10}{3}}\right) = 2\sqrt{\frac{10}{3}} \left(20 - \frac{20}{3}\right)$$ $$S\left(\sqrt{\frac{10}{3}}\right) = 2\sqrt{\frac{10}{3}} \left(\frac{60 - 20}{3}\right) = 2\sqrt{\frac{10}{3}} \cdot \frac{40}{3}$$ $$S\left(\sqrt{\frac{10}{3}}\right) = \frac{80}{3} \sqrt{\frac{10}{3}} = \frac{80\sqrt{10}}{3\sqrt{3}} = \frac{80\sqrt{30}}{9}$$ Calculando el valor aproximado: $$S \approx \frac{80 \cdot 5.477}{9} \approx 48.686$$ ✅ **Resultado (Área máxima):** $$\boxed{S_{\text{máx}} = \frac{80\sqrt{30}}{9} \approx 48.69 \text{ unidades de área}}$$