Geometría en el espacio: Rectas y Planos

**a) Un vector director de cada una de dichas rectas $r$ y $s$. (2 puntos).** Para la recta $r$, observamos que viene dada en su **forma paramétrica**: $$r : \begin{cases} x = 0 + 1\lambda \\ y = 1 - 1\lambda \\ z = 3 + 0\lambda \end{cases}$$ Los coeficientes del parámetro $\lambda$ nos dan directamente las componentes del vector director: $$\vec{v}_r = (1, -1, 0)$$ Para la recta $s$, nos la presentan en su **forma continua**: $$s : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 0}{1} = \frac{z - 3}{1}$$ Los denominadores de las fracciones corresponden a las componentes del vector director: $$\vec{v}_s = (1, 1, 1)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en la ecuación continua $\frac{x-x_0}{v_x} = \frac{y-y_0}{v_y} = \frac{z-z_0}{v_z}$, el vector director es $(v_x, v_y, v_z)$ y el punto es $(x_0, y_0, z_0)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\vec{v}_r = (1, -1, 0), \quad \vec{v}_s = (1, 1, 1)}$$

**b) La ecuación del plano perpendicular a la recta $r$ que pasa por el punto $(0, 1, 3)$. (3 puntos).** Si un plano $\pi_1$ es perpendicular a una recta $r$, el vector director de la recta, $\vec{v}_r$, actúa como el **vector normal** del plano ($\vec{n}_{\pi_1}$). Del apartado anterior, sabemos que $\vec{v}_r = (1, -1, 0)$. Por tanto, el plano tendrá la forma: $$1x - 1y + 0z + D = 0 \implies x - y + D = 0$$ Para hallar $D$, imponemos que el plano pase por el punto $A(0, 1, 3)$: $$0 - 1 + D = 0 \implies D = 1$$ La ecuación del plano es $x - y + 1 = 0$. 💡 **Tip:** La ecuación general de un plano es $Ax + By + Cz + D = 0$, donde $(A, B, C)$ es el vector perpendicular al plano. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x - y + 1 = 0}$$

**c) El punto de intersección de las rectas $r$ y $s$ (2 puntos) y la ecuación del plano $\pi$ que contiene a estas rectas $r$ y $s$. (3 puntos).** Primero, expresamos ambas rectas en paramétricas para igualar sus coordenadas. Usaremos parámetros distintos para cada una: $$r : \begin{cases} x = \lambda \\ y = 1 - \lambda \\ z = 3 \end{cases} \qquad s : \begin{cases} x = 1 + \mu \\ y = \mu \\ z = 3 + \mu \end{cases}$$ Igualamos las componentes $x, y, z$: 1) $\lambda = 1 + \mu$ 2) $1 - \lambda = \mu$ 3) $3 = 3 + \mu$ De la ecuación (3), obtenemos inmediatamente: **$\mu = 0$**. Sustituyendo $\mu = 0$ en la ecuación (1): $\lambda = 1 + 0 = 1$. Comprobamos en la ecuación (2): $1 - (1) = 0$, que es coherente con $\mu = 0$. Sustituimos $\mu = 0$ en la recta $s$ (o $\lambda = 1$ en $r$) para hallar el punto $Q$: $$x = 1 + 0 = 1, \quad y = 0, \quad z = 3 + 0 = 3$$ ✅ **Resultado (Punto de intersección):** $$\boxed{Q(1, 0, 3)}$$

Para hallar el plano $\pi$ que contiene a $r$ y $s$, necesitamos un punto del plano (por ejemplo, el punto de intersección $Q(1, 0, 3)$) y un vector normal $\vec{n}$. El vector normal se obtiene mediante el **producto vectorial** de los vectores directores de las rectas: $$\vec{n} = \vec{v}_r \times \vec{v}_s = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ Calculamos el determinante desarrollando por la primera fila: $$\vec{n} = \vec{i} \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{n} = \vec{i}(-1 - 0) - \vec{j}(1 - 0) + \vec{k}(1 - (-1))$$ $$\vec{n} = -1\vec{i} - 1\vec{j} + 2\vec{k} \implies \vec{n} = (-1, -1, 2)$$ La ecuación del plano será: $-1(x - 1) - 1(y - 0) + 2(z - 3) = 0$. $$-x + 1 - y + 2z - 6 = 0 \implies -x - y + 2z - 5 = 0$$ Multiplicando por $-1$ para simplificar: $$x + y - 2z + 5 = 0$$ ✅ **Resultado (Plano $\pi$):** $$\boxed{x + y - 2z + 5 = 0}$$