Rango e inversa de una matriz con parámetros

**a) Obtener razonadamente el rango o característica de la matriz $A$ en función de los valores de $m$. (5 puntos).** Para determinar el rango de la matriz $A$, el primer paso es calcular su determinante. El rango será $3$ si el determinante es distinto de cero. Dada $A = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & m & 0 \\ 2 & 1 & m^2 - 1 \end{pmatrix}$, calculamos $|A|$ desarrollando por la segunda fila (ya que contiene dos ceros): $$|A| = m \cdot (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 2 & m^2-1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = m \cdot [(-1)(m^2 - 1) - (2)(1)]$$ $$|A| = m \cdot [-m^2 + 1 - 2] = m(-m^2 - 1) = -m(m^2 + 1)$$ 💡 **Tip:** El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo. Si el determinante de una matriz $3 \times 3$ es distinto de $0$, su rango es $3$. $$\boxed{|A| = -m(m^2 + 1)}$$

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos: $$-m(m^2 + 1) = 0$$ Esto nos da dos posibilidades: 1. $m = 0$ 2. $m^2 + 1 = 0 \implies m^2 = -1$ (No tiene solución real). Por tanto, el único valor real que anula el determinante es $m = 0$. **Caso 1: Si $m \neq 0$** El determinante $|A| \neq 0$, por lo que el rango es máximo. $$\boxed{\text{Si } m \neq 0, \text{ rango}(A) = 3}$$ **Caso 2: Si $m = 0$** La matriz queda como $A = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix}$. Como hay una fila de ceros, el rango no puede ser $3$. Buscamos un menor de orden $2$ distinto de cero: $$\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -1 \neq 0$$ Al existir un menor de orden $2$ no nulo, el rango es $2$. $$\boxed{\text{Si } m = 0, \text{ rango}(A) = 2}$$

**b) Explicar por qué es invertible la matriz $A$ cuando $m = 1$. (2 puntos).** Una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Según la expresión obtenida en el apartado anterior $|A| = -m(m^2 + 1)$, sustituimos para $m = 1$: $$|A|_{m=1} = -1(1^2 + 1) = -1(2) = -2$$ Como $-2 \neq 0$, la matriz $A$ posee inversa para ese valor del parámetro. 💡 **Tip:** Recuerda que una matriz $A$ es regular (invertible) $\iff \text{det}(A) \neq 0 \iff \text{rango}(A) = n$ (donde $n$ es el orden de la matriz). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Es invertible porque } |A| = -2 \neq 0}$$

**c) Obtener razonadamente la matriz inversa $A^{-1}$ de $A$ cuando $m = 1$, indicando los distintos pasos para la obtención de $A^{-1}$.** Para $m = 1$, la matriz es $A = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ y sabemos que $|A| = -2$. La fórmula para la matriz inversa es: $A^{-1} = \frac{1}{|A|} [\text{Adj}(A)]^t$. **Paso 1: Calcular la matriz de adjuntos $\text{Adj}(A)$:** - $A_{11} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{13} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -2$ - $A_{21} = -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -(-1) = 1$ - $A_{22} = +\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = -2$ - $A_{23} = -\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -(-1) = 1$ - $A_{31} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1$ - $A_{32} = -\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{33} = +\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -1$ $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -2 \\ 1 & -2 & 1 \\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$

**Paso 2: Trasponer la matriz de adjuntos:** $$[\text{Adj}(A)]^t = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 0 \\ -2 & 1 & -1 \end{pmatrix}$$ **Paso 3: Multiplicar por $1/|A|$:** $$A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 0 \\ -2 & 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1/2 & 1/2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1/2 & 1/2 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}}$$

**Comprobar que los productos $AA^{-1}$ y $A^{-1}A$ dan la matriz unidad. (3 puntos).** Calculamos $A \cdot A^{-1}$: $$\begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1/2 & 1/2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1/2 & 1/2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0+0+1 & 1/2+0-1/2 & -1/2+0+1/2 \\ 0+0+0 & 0+1+0 & 0+0+0 \\ 0+0+0 & -1+1+0 & 1+0+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Calculamos $A^{-1} \cdot A$: $$\begin{pmatrix} 0 & -1/2 & 1/2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1/2 & 1/2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0+0+1 & 0-1/2+1/2 & 0+0+0 \\ 0+0+0 & 0+1+0 & 0+0+0 \\ -1+0+1 & 0-1/2+1/2 & 1+0+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Ambos productos resultan en la matriz identidad $I_3$, por lo que la inversa es correcta.