Estudio de una función racional e integración

**a) El dominio y las asíntotas de la función $f(x)$. (3 puntos).** El dominio de una función racional está formado por todos los números reales excepto aquellos que anulan el denominador. Resolvemos la ecuación: $$x^2 - 3x + 2 = 0$$ Utilizamos la fórmula cuadrática: $$x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$$ Esto nos da dos valores: $x_1 = 2$ y $x_2 = 1$. 💡 **Tip:** El dominio de $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ es $\mathbb{R} \setminus \{x : Q(x) = 0\}$. ✅ **Resultado (Dominio):** $$\boxed{\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{1, 2\}}$$

Las asíntotas verticales suelen encontrarse en los puntos que no pertenecen al dominio. Analizamos el comportamiento de la función cerca de $x = 1$ y $x = 2$: **Para $x = 1$:** $$\lim_{x \to 1} \frac{x}{x^2 - 3x + 2} = \frac{1}{0} = \infty$$ (Límites laterales: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = +\infty$ y $\lim_{x \to 1^+} f(x) = -\infty$). **Para $x = 2$:** $$\lim_{x \to 2} \frac{x}{x^2 - 3x + 2} = \frac{2}{0} = \infty$$ (Límites laterales: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty$ y $\lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty$). Al ser los límites infinitos, confirmamos la existencia de asíntotas verticales. ✅ **Resultado (AV):** $$\boxed{x = 1, \quad x = 2}$$

Para hallar las asíntotas horizontales, calculamos el límite de la función cuando $x$ tiende a infinito: $$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{x}{x^2 - 3x + 2} = 0$$ Como el grado del denominador es mayor que el del numerador, el límite es $0$. Esto indica que existe una asíntota horizontal en el eje de abscisas. Al existir una asíntota horizontal hacia $\pm \infty$, **no existen asíntotas oblicuas**. 💡 **Tip:** Si el grado del numerador es exactamente una unidad mayor que el del denominador, existe una asíntota oblicua. Si es igual, la horizontal es el cociente de los coeficientes principales. ✅ **Resultado (Asíntotas):** $$\boxed{\text{AV: } x=1, x=2; \quad \text{AH: } y=0; \quad \text{AO: No hay}}$$

**b) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f(x)$. (4 puntos).** Para estudiar la monotonía, calculamos la primera derivada $f'(x)$ usando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(x)'(x^2 - 3x + 2) - x(x^2 - 3x + 2)'}{(x^2 - 3x + 2)^2}$$ $$f'(x) = \frac{1(x^2 - 3x + 2) - x(2x - 3)}{(x^2 - 3x + 2)^2} = \frac{x^2 - 3x + 2 - 2x^2 + 3x}{(x^2 - 3x + 2)^2}$$ $$f'(x) = \frac{-x^2 + 2}{(x^2 - 3x + 2)^2}$$ Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$-x^2 + 2 = 0 \implies x^2 = 2 \implies x = \pm \sqrt{2} \approx \pm 1.41$$ 💡 **Tip:** El signo de $f'(x)$ determina el crecimiento. Como el denominador está al cuadrado, siempre será positivo en el dominio, por lo que el signo depende solo del numerador $-x^2+2$.

Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por los puntos críticos y los puntos de discontinuidad ($x=1, x=2$): $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, -\sqrt{2}) & -\sqrt{2} & (-\sqrt{2}, 1) & 1 & (1, \sqrt{2}) & \sqrt{2} & (\sqrt{2}, 2) & 2 & (2, +\infty) \\ \hline f'(x) & - & 0 & + & \nexists & + & 0 & - & \nexists & - \\ \hline \text{Función} & \searrow & \text{Mín} & \nearrow & \nexists & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \nexists & \searrow \end{array}$$ - En $(-\infty, -\sqrt{2})$: $f'(-2) = \frac{-2}{144} \lt 0$ (Decrece). - En $(-\sqrt{2}, 1)$: $f'(0) = \frac{2}{4} \gt 0$ (Crece). - En $(1, \sqrt{2})$: $f'(1.2) = \frac{0.56}{\text{pos}} \gt 0$ (Crece). - En $(\sqrt{2}, 2)$: $f'(1.8) = \frac{-1.24}{\text{pos}} \lt 0$ (Decrece). - En $(2, +\infty)$: $f'(3) = \frac{-7}{4} \lt 0$ (Decrece). ✅ **Resultado (Monotonía):** $$\boxed{\begin{aligned} &\text{Crecimiento: } (-\sqrt{2}, 1) \cup (1, \sqrt{2}) \\ &\text{Decrecimiento: } (-\infty, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, 2) \cup (2, +\infty) \end{aligned}}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x)=\\frac{x}{x^2-3x+2}", "color": "#2563eb" }, { "id": "va1", "latex": "x=1", "lineStyle": "DASHED", "color": "#9ca3af" }, { "id": "va2", "latex": "x=2", "lineStyle": "DASHED", "color": "#9ca3af" } ] } }

**c) La integral $\int f(x) dx = \int \frac{x}{x^2 - 3x + 2} dx$. (3 puntos).** Como el grado del numerador es menor que el del denominador, descomponemos en fracciones simples. Ya sabemos que $x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$: $$\frac{x}{(x-1)(x-2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2}$$ Multiplicamos por el denominador común: $$x = A(x-2) + B(x-1)$$ Para hallar $A$ y $B$, damos valores a $x$: - Si $x = 1 \implies 1 = A(1-2) \implies 1 = -A \implies A = -1$. - Si $x = 2 \implies 2 = B(2-1) \implies 2 = B \implies B = 2$. 💡 **Tip:** La descomposición en fracciones simples es la técnica estándar para integrar funciones racionales cuando el denominador tiene raíces reales distintas.

Sustituimos los valores obtenidos en la integral: $$\int \frac{x}{x^2 - 3x + 2} dx = \int \left( \frac{-1}{x-1} + \frac{2}{x-2} \right) dx$$ Aplicamos la linealidad de la integral y resolvemos: $$\int \frac{-1}{x-1} dx + \int \frac{2}{x-2} dx = -\ln|x-1| + 2\ln|x-2| + C$$ Podemos simplificar usando propiedades de logaritmos: $$2\ln|x-2| - \ln|x-1| + C = \ln(x-2)^2 - \ln|x-1| + C = \ln \frac{(x-2)^2}{|x-1|} + C$$ ✅ **Resultado (Integral):** $$\boxed{-\ln|x-1| + 2\ln|x-2| + C}$$