Posición relativa de rectas y ecuación del plano

**a) Un punto y un vector director de cada recta. (3 puntos).** Para la recta $r$, dada en su forma implícita: $r : \begin{cases} x + z = 2 \\ 2x - y + z = 0 \end{cases}$ **Vector director de $r$ ($\vec{v_r}$):** Se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores normales a los planos que la definen, $\vec{n_1} = (1, 0, 1)$ y $\vec{n_2} = (2, -1, 1)$. $$\vec{v_r} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\vec{v_r} = \vec{i}(0 \cdot 1 - 1 \cdot (-1)) - \vec{j}(1 \cdot 1 - 1 \cdot 2) + \vec{k}(1 \cdot (-1) - 0 \cdot 2)$$ $$\vec{v_r} = \vec{i}(1) - \vec{j}(-1) + \vec{k}(-1) = (1, 1, -1)$$ **Punto de $r$ ($P_r$):** Asignamos un valor arbitrario a una de las variables. Si hacemos $x = 0$: $0 + z = 2 \implies z = 2$ $2(0) - y + 2 = 0 \implies y = 2$ 💡 **Tip:** Para obtener un punto de una recta en implícitas, basta con fijar una coordenada (siempre que el sistema resultante sea compatible) y despejar las otras dos. ✅ **Resultado para $r$:** $$\boxed{P_r(0, 2, 2), \quad \vec{v_r}(1, 1, -1)}$$

Para la recta $s$: $s : \begin{cases} 2x - y = 3 \\ x - y - z = 2 \end{cases}$ **Vector director de $s$ ($\vec{v_s}$):** Procedemos de igual forma con los vectores normales $\vec{n_3} = (2, -1, 0)$ y $\vec{n_4} = (1, -1, -1)$. $$\vec{v_s} = \vec{n_3} \times \vec{n_4} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & -1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos: $$\vec{v_s} = \vec{i}((-1) \cdot (-1) - 0 \cdot (-1)) - \vec{j}(2 \cdot (-1) - 0 \cdot 1) + \vec{k}(2 \cdot (-1) - (-1) \cdot 1)$$ $$\vec{v_s} = \vec{i}(1) - \vec{j}(-2) + \vec{k}(-1) = (1, 2, -1)$$ **Punto de $s$ ($P_s$):** Hacemos $x = 0$: $2(0) - y = 3 \implies y = -3$ $0 - (-3) - z = 2 \implies 3 - z = 2 \implies z = 1$ ✅ **Resultado para $s$:** $$\boxed{P_s(0, -3, 1), \quad \vec{v_s}(1, 2, -1)}$$

**b) La posición relativa de las rectas $r$ y $s$. (4 puntos).** Primero comprobamos si los vectores directores son paralelos: $\vec{v_r} = (1, 1, -1)$ $\vec{v_s} = (1, 2, -1)$ Como $\frac{1}{1} \neq \frac{1}{2}$, los vectores **no son proporcionales**, por lo que las rectas se cortan en un punto o se cruzan. Para distinguir ambos casos, estudiamos el rango de la matriz formada por $\vec{v_r}$, $\vec{v_s}$ y el vector que une un punto de cada recta $\vec{P_r P_s}$. Calculamos $\vec{P_r P_s} = P_s - P_r$: $$\vec{P_r P_s} = (0 - 0, -3 - 2, 1 - 2) = (0, -5, -1)$$ Calculamos el determinante de la matriz $M = (\vec{v_r}, \vec{v_s}, \vec{P_r P_s})$: $$\det(M) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 0 & -5 & -1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus: $$\det(M) = [1 \cdot 2 \cdot (-1) + 1 \cdot (-1) \cdot 0 + (-1) \cdot 1 \cdot (-5)] - [0 \cdot 2 \cdot (-1) + (-5) \cdot (-1) \cdot 1 + (-1) \cdot 1 \cdot 1]$$ $$\det(M) = [-2 + 0 + 5] - [0 + 5 - 1] = 3 - 4 = -1$$ Como $\det(M) \neq 0$, el rango es 3. Esto significa que los tres vectores son linealmente independientes. 💡 **Tip:** Si el determinante es distinto de cero, las rectas no son coplanarias. Como tampoco son paralelas, solo pueden cruzarse. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Las rectas } r \text{ y } s \text{ se cruzan en el espacio}}$$

**c) La ecuación del plano que contiene a $r$ y es paralelo a $s$. (3 puntos).** El plano $\pi$ que buscamos debe estar definido por: 1. Un punto de la recta $r$: $P_r(0, 2, 2)$. 2. El vector director de $r$: $\vec{v_r} = (1, 1, -1)$. 3. El vector director de $s$ (por ser paralelo a ella): $\vec{v_s} = (1, 2, -1)$. Podemos obtener el vector normal al plano $\vec{n_\pi}$ mediante el producto vectorial de ambos vectores directores: $$\vec{n_\pi} = \vec{v_r} \times \vec{v_s} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{n_\pi} = \vec{i}(-1 - (-2)) - \vec{j}(-1 - (-1)) + \vec{k}(2 - 1)$$ $$\vec{n_\pi} = \vec{i}(1) - \vec{j}(0) + \vec{k}(1) = (1, 0, 1)$$ La ecuación del plano será de la forma $1x + 0y + 1z + D = 0$. Imponemos que pase por $P_r(0, 2, 2)$: $$0 + 0 + 2 + D = 0 \implies D = -2$$ 💡 **Tip:** También se puede calcular como el determinante $\det(X-P_r, \vec{v_r}, \vec{v_s}) = 0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\pi : x + z - 2 = 0}$$