Sistema de ecuaciones con parámetro m

**a) Todas las soluciones del sistema $S$ cuando $m = 2$. (4 puntos).** Primero, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ para $m=2$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 3 \\ 1 & 3 & 0 \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 2 \\ 2 & 0 & 3 & | & 5 \\ 1 & 3 & 0 & | & 1 \end{pmatrix}$$ Calculamos el determinante de $A$: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 3 \\ 1 & 3 & 0 \end{vmatrix} = (0 + 3 + 6) - (0 + 9 + 0) = 9 - 9 = 0.$$ Como $|A| = 0$, el rango de $A$ es menor que $3$. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = 0 - 2 = -2 \neq 0 \implies \text{rang}(A) = 2.$$ Calculamos el rango de $A^*$ comprobando el determinante de la matriz formada por las columnas 1, 2 y 4: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 5 \\ 1 & 3 & 1 \end{vmatrix} = (0 + 5 + 12) - (0 + 15 + 2) = 17 - 17 = 0.$$ Dado que todos los menores de orden 3 en $A^*$ son cero, $\text{rang}(A^*) = 2$. 💡 **Tip:** Según el **Teorema de Rouché-Capelli**, si $\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) = 2 < 3$ (nº incógnitas), el sistema es **Compatible Indeterminado** (infinitas soluciones).

Para resolver el sistema, utilizamos las dos primeras ecuaciones (que son linealmente independientes) y pasamos $z$ al segundo miembro como un parámetro $\lambda$: $$\begin{cases} x + y = 2 - \lambda \\ 2x = 5 - 3\lambda \end{cases}$$ De la segunda ecuación despejamos $x$: $$x = \frac{5 - 3\lambda}{2}$$ Sustituimos $x$ en la primera ecuación para hallar $y$: $$y = 2 - \lambda - x = 2 - \lambda - \frac{5 - 3\lambda}{2} = \frac{4 - 2\lambda - 5 + 3\lambda}{2} = \frac{\lambda - 1}{2}$$ Las soluciones dependen del parámetro $\lambda \in \mathbb{R}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{(x, y, z) = \left( \frac{5 - 3\lambda}{2}, \frac{\lambda - 1}{2}, \lambda \right), \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$

**b) Todos los valores de $m$ para los que el sistema $S$ tiene una solución única. (2 puntos).** Un sistema lineal tiene solución única (es Compatible Determinado) si el determinante de la matriz de coeficientes $A$ es distinto de cero. Calculamos $|A|$ en función de $m$: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 3 \\ 1 & 3 & m - 2 \end{vmatrix}$$ Aplicando la regla de Sarrus: $$|A| = [1 \cdot 0 \cdot (m-2) + 1 \cdot 3 \cdot 1 + 1 \cdot 2 \cdot 3] - [1 \cdot 0 \cdot 1 + 3 \cdot 3 \cdot 1 + (m-2) \cdot 2 \cdot 1]$$ $$|A| = [0 + 3 + 6] - [0 + 9 + 2m - 4] = 9 - (5 + 2m) = 4 - 2m.$$ Para que la solución sea única: $$4 - 2m \neq 0 \implies 2m \neq 4 \implies m \neq 2.$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Rouché-Capelli indica que si $|A| \neq 0$, entonces $\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) = 3$, que coincide con el número de incógnitas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{m \in \mathbb{R} \setminus \{2\}}$$

**c) El valor de $m$ para el que el sistema $S$ admite la solución $(x, y, z) = \left( \frac{3}{2}, -\frac{1}{2}, 0 \right)$. (4 puntos).** Si el punto dado es solución, debe satisfacer todas las ecuaciones del sistema. Sustituimos los valores en la primera ecuación: $$x + y + z = m \implies \frac{3}{2} - \frac{1}{2} + 0 = m \implies \frac{2}{2} = m \implies m = 1.$$ Comprobamos si $m = 1$ es consistente con las otras dos ecuaciones: 1. Segunda ecuación: $2\left(\frac{3}{2}\right) + 3(0) = 3$. Si $m=1$, el término independiente es $2(1) + 1 = 3$. **Correcto**. 2. Tercera ecuación: $\frac{3}{2} + 3\left(-\frac{1}{2}\right) + (1 - 2)(0) = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} = 0$. Si $m=1$, el término independiente es $1 - 1 = 0$. **Correcto**. Como el valor $m=1$ satisface simultáneamente las tres igualdades, es el valor buscado. ✅ **Resultado:** $$\boxed{m = 1}$$