Optimización de distancias y cálculo de áreas

**a) La expresión de $f(x)$. (2 puntos)** Primero, despejamos la variable $y$ de la ecuación de la parábola $\Gamma$: $$2y = 36 - x^2 \implies y = 18 - \frac{x^2}{2}$$ Un punto genérico del arco $\Gamma$ tiene la forma $Q(x, y) = Q\left(x, 18 - \frac{x^2}{2}\right)$. El punto fijo es $P(0, 9)$. La función $f(x)$ es la distancia entre $P$ y $Q$: $$f(x) = d(P, Q) = \sqrt{(x - 0)^2 + \left(18 - \frac{x^2}{2} - 9\right)^2}$$ Simplificamos la expresión dentro de la raíz: $$f(x) = \sqrt{x^2 + \left(9 - \frac{x^2}{2}\right)^2} = \sqrt{x^2 + 81 - 9x^2 + \frac{x^4}{4}}$$ $$f(x) = \sqrt{\frac{x^4}{4} - 8x^2 + 81}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la distancia entre dos puntos $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$ viene dada por la fórmula $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f(x) = \sqrt{\frac{x^4}{4} - 8x^2 + 81}, \quad x \in [-6, 6]}$$

**b) Los puntos del arco $\Gamma$ donde la distancia $f(x)$ tiene mínimos relativos. (2 puntos).** Para minimizar $f(x)$, podemos minimizar su cuadrado $g(x) = [f(x)]^2$, ya que la función raíz cuadrada es creciente para valores positivos. $$g(x) = \frac{x^4}{4} - 8x^2 + 81$$ Calculamos la primera derivada para hallar los puntos críticos: $$g'(x) = 4\frac{x^3}{4} - 16x = x^3 - 16x$$ Igualamos a cero: $$x^3 - 16x = 0 \implies x(x^2 - 16) = 0 \implies x_1 = 0, \, x_2 = 4, \, x_3 = -4$$ Analizamos el signo de $g'(x)$ en el dominio $[-6, 6]$: $$\begin{array}{c|ccccccc} x & [-6, -4) & -4 & (-4, 0) & 0 & (0, 4) & 4 & (4, 6] \\ \hline g'(x) & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \\ \text{Monotonía} & \searrow & \min & \nearrow & \max & \searrow & \min & \nearrow \end{array}$$ Los mínimos relativos se encuentran en $x = 4$ y $x = -4$. Calculamos la ordenada $y$ para estos puntos en la parábola $y = 18 - \frac{x^2}{2}$: - Para $x = \pm 4$: $y = 18 - \frac{16}{2} = 10$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Los puntos son } (-4, 10) \text{ y } (4, 10)}$$

**c) Los valores máximo y mínimo de la distancia $f(x)$. (2 punto)** Para hallar los extremos absolutos en el intervalo cerrado $[-6, 6]$, evaluamos $f(x)$ en los puntos críticos y en los extremos del intervalo: 1. En los mínimos relativos ($x = \pm 4$): $$f(4) = f(-4) = \sqrt{\frac{256}{4} - 8(16) + 81} = \sqrt{64 - 128 + 81} = \sqrt{17}$$ 2. En el máximo relativo ($x = 0$): $$f(0) = \sqrt{0 - 0 + 81} = 9$$ 3. En los extremos del intervalo ($x = \pm 6$): $$f(6) = f(-6) = \sqrt{\frac{1296}{4} - 8(36) + 81} = \sqrt{324 - 288 + 81} = \sqrt{117} = 3\sqrt{13}$$ Comparando los valores: - $\sqrt{17} \approx 4.12$ - $9 = \sqrt{81}$ - $3\sqrt{13} = \sqrt{117} \approx 10.82$ 💡 **Tip:** En un intervalo cerrado, el máximo y mínimo absolutos siempre se encuentran o bien en los extremos del intervalo o bien en los puntos donde la derivada es cero. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Valor mínimo: } \sqrt{17}, \quad \text{Valor máximo: } 3\sqrt{13}}$$

**d) El área de la superficie limitada por el arco de parábola $\Gamma$ y el segmento rectilíneo que une los puntos $(-6, 0)$ y $(6, 0)$. (4 puntos)** El segmento rectilíneo que une $(-6, 0)$ y $(6, 0)$ está sobre el eje $OX$ (recta $y=0$). Como la parábola $y = 18 - \frac{x^2}{2}$ está por encima del eje $OX$ en el intervalo $[-6, 6]$ (ya que en los extremos vale $0$ y el vértice está en $(0, 18)$), el área es: $$A = \int_{-6}^{6} \left(18 - \frac{x^2}{2}\right) dx$$ Por simetría de la función (es par), podemos calcular el doble de la integral de $0$ a $6$: $$A = 2 \int_{0}^{6} \left(18 - \frac{x^2}{2}\right) dx$$ Aplicamos la Regla de Barrow: $$A = 2 \left[ 18x - \frac{x^3}{6} \right]_0^6$$ $$A = 2 \left( \left(18(6) - \frac{6^3}{6}\right) - (0) \right)$$ $$A = 2 (108 - 36) = 2(72) = 144$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el área bajo una curva positiva $f(x)$ entre $a$ y $b$ es $\int_a^b f(x) dx$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{Area = 144 \text{ unidades}^2}$$