Haz de planos y posición relativa con una recta

**a) La ecuación del plano $\pi_{\alpha}$ que pasa por el punto $(1, 1, 0)$. (3 puntos).** Para que el plano $\pi_{\alpha}$ pase por el punto $P(1, 1, 0)$, las coordenadas del punto deben satisfacer la ecuación del plano. Sustituimos $x = 1$, $y = 1$ y $z = 0$ en la ecuación: $$(2 + 2\alpha)(1) + (1) + \alpha(0) - 2 - 6\alpha = 0$$ Operamos para despejar $\alpha$: $$2 + 2\alpha + 1 - 2 - 6\alpha = 0$$ $$1 - 4\alpha = 0 \implies 4\alpha = 1 \implies \alpha = \frac{1}{4}$$ Ahora, sustituimos $\alpha = \frac{1}{4}$ en la ecuación general de $\pi_{\alpha}$: $$(2 + 2\cdot\frac{1}{4})x + y + \frac{1}{4}z - 2 - 6\cdot\frac{1}{4} = 0$$ $$(2 + \frac{1}{2})x + y + \frac{1}{4}z - 2 - \frac{3}{2} = 0$$ $$\frac{5}{2}x + y + \frac{1}{4}z - \frac{7}{2} = 0$$ Multiplicamos toda la ecuación por $4$ para eliminar denominadores: $$10x + 4y + z - 14 = 0$$ 💡 **Tip:** Un punto pertenece a un plano si al sustituir sus coordenadas en la ecuación implícita se cumple la igualdad. ✅ **Resultado:** $$\boxed{10x + 4y + z - 14 = 0}$$

Para los apartados b) y c) necesitamos conocer la dirección de la recta $r$. La recta viene dada como intersección de dos planos: $$r : \begin{cases} x - 4y = 0 \\ y - z = 0 \end{cases}$$ Sus vectores normales son $\vec{n}_1 = (1, -4, 0)$ y $\vec{n}_2 = (0, 1, -1)$. El vector director de la recta $\vec{v}_r$ se obtiene mediante el producto vectorial de ambos: $$\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -4 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix}$$ Calculamos por Sarrus: $$\vec{v}_r = \vec{i}(-4 \cdot (-1) - 0 \cdot 1) - \vec{j}(1 \cdot (-1) - 0 \cdot 0) + \vec{k}(1 \cdot 1 - (-4) \cdot 0)$$ $$\vec{v}_r = 4\vec{i} + \vec{j} + \vec{k} = (4, 1, 1)$$ 💡 **Tip:** El vector director de una recta dada por dos planos es perpendicular a los vectores normales de dichos planos.

**b) La ecuación del plano $\pi_{\alpha}$ que es paralelo a la recta $r$. (4 puntos).** Si el plano $\pi_{\alpha}$ es paralelo a la recta $r$, su vector normal $\vec{n}_{\alpha} = (2+2\alpha, 1, \alpha)$ debe ser perpendicular al vector director de la recta $\vec{v}_r = (4, 1, 1)$. La condición de perpendicularidad es que su producto escalar sea cero: $$\vec{n}_{\alpha} \cdot \vec{v}_r = 0 \implies (2+2\alpha, 1, \alpha) \cdot (4, 1, 1) = 0$$ $$4(2 + 2\alpha) + 1(1) + 1(\alpha) = 0$$ $$8 + 8\alpha + 1 + \alpha = 0$$ $$9\alpha + 9 = 0 \implies \alpha = -1$$ Sustituimos $\alpha = -1$ en la ecuación del plano: $$(2 + 2(-1))x + y + (-1)z - 2 - 6(-1) = 0$$ $$(0)x + y - z - 2 + 6 = 0$$ $$y - z + 4 = 0$$ 💡 **Tip:** Si una recta es paralela a un plano, el vector director de la recta y el normal del plano son perpendiculares entre sí. ✅ **Resultado:** $$\boxed{y - z + 4 = 0}$$

**c) La ecuación del plano $\pi_{\alpha}$ que es perpendicular a la recta $r$. (3 puntos).** Si el plano $\pi_{\alpha}$ es perpendicular a la recta $r$, el vector normal del plano $\vec{n}_{\alpha}$ y el vector director de la recta $\vec{v}_r$ deben ser paralelos (proporcionales): $$\vec{n}_{\alpha} = k \cdot \vec{v}_r \implies (2 + 2\alpha, 1, \alpha) = k(4, 1, 1)$$ Esto genera el sistema: $$\begin{cases} 2 + 2\alpha = 4k \\ 1 = k \\ \alpha = k \end{cases}$$ De la segunda ecuación obtenemos $k = 1$. Sustituyendo en la tercera, obtenemos $\alpha = 1$. Comprobamos en la primera: $$2 + 2(1) = 4(1) \implies 4 = 4 \quad (\text{Se cumple})$$ Por tanto, el valor buscado es $\alpha = 1$. Sustituimos en el plano: $$(2 + 2(1))x + y + (1)z - 2 - 6(1) = 0$$ $$4x + y + z - 8 = 0$$ 💡 **Tip:** Si una recta es perpendicular a un plano, sus vectores dirección (normal del plano y director de la recta) tienen la misma dirección. ✅ **Resultado:** $$\boxed{4x + y + z - 8 = 0}$$