Propiedades de los determinantes

**a) $\frac{1}{2} T$. (3 puntos).** Para resolver este apartado, aplicamos la propiedad que relaciona el determinante de una matriz multiplicada por un número escalar $k$. Si $A$ es una matriz de orden $n$, entonces $\det(k \cdot A) = k^n \cdot \det(A)$. En este caso: - La matriz $T$ es de orden $n = 3$. - El escalar es $k = \frac{1}{2}$. - El determinante de $T$ es $|T| = \sqrt{2}$. Sustituimos en la fórmula: $$\det\left(\frac{1}{2} T\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^3 \cdot |T| = \frac{1}{8} \cdot \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{8}.$$ 💡 **Tip:** Recuerda que al multiplicar una matriz de orden $n$ por un escalar, el determinante queda multiplicado por dicho escalar elevado a $n$, porque el escalar multiplica a cada una de las $n$ filas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\det\left(\frac{1}{2} T\right) = \frac{\sqrt{2}}{8}}$$

**b) $M^4$. (3 puntos).** Primero calculamos el determinante de la matriz $M$ utilizando la regla de Sarrus: $$M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix}$$ $$\det(M) = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = [ (1 \cdot 1 \cdot (-1)) + (2 \cdot 1 \cdot 2) + (1 \cdot 2 \cdot 1) ] - [ (1 \cdot 1 \cdot 2) + (1 \cdot 1 \cdot 1) + (-1 \cdot 2 \cdot 2) ]$$ Realizamos las operaciones: $$\det(M) = [ -1 + 4 + 2 ] - [ 2 + 1 - 4 ] = 5 - (-1) = 6.$$ $$\boxed{\det(M) = 6}$$

Utilizamos la propiedad que establece que el determinante de una potencia de una matriz es igual a la potencia del determinante: $\det(A^n) = (\det A)^n$. Para $M^4$: $$\det(M^4) = (\det M)^4 = 6^4$$ Calculamos el valor final: $$6^4 = 1296.$$ 💡 **Tip:** Esta propiedad es una consecuencia directa del teorema de Binet ($|A \cdot B| = |A| \cdot |B|$) aplicado de forma reiterada sobre la misma matriz. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\det(M^4) = 1296}$$

**c) $TM^3 T^{-1}$. (4 puntos).** Para resolver este apartado, aplicamos las siguientes propiedades de los determinantes: 1. Propiedad del producto: $\det(A \cdot B) = \det(A) \cdot \det(B)$. 2. Propiedad de la inversa: $\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}$. 3. Propiedad de la potencia: $\det(A^n) = (\det A)^n$. Descomponemos el determinante solicitado: $$\det(T \cdot M^3 \cdot T^{-1}) = \det(T) \cdot \det(M^3) \cdot \det(T^{-1})$$ Sustituimos cada término según las propiedades: $$\det(T \cdot M^3 \cdot T^{-1}) = \det(T) \cdot (\det M)^3 \cdot \frac{1}{\det(T)}$$ Observamos que el término $\det(T)$ se simplifica con $\frac{1}{\det(T)}$, independientemente de su valor (siempre que sea distinto de cero, lo cual se cumple ya que $\det(T) = \sqrt{2}$): $$\det(T \cdot M^3 \cdot T^{-1}) = (\det M)^3$$ Sustituimos el valor hallado anteriormente $\det(M) = 6$: $$6^3 = 216.$$ 💡 **Tip:** Siempre que veas una estructura del tipo $P A P^{-1}$, el determinante del producto será simplemente el determinante de la matriz central $A$, ya que las matrices de paso se cancelan al aplicar propiedades. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\det(TM^3 T^{-1}) = 216}$$