Estudio de la función $f(x) = x^2 e^{-x}$

**a) El dominio y el recorrido de la función $f$. (2 puntos).** Analizamos primero el **dominio**. La función $f(x) = x^2 e^{-x}$ es el producto de una función polinómica $x^2$ y una función exponencial $e^{-x}$. Ambas funciones están definidas y son continuas para cualquier número real. Por tanto, el dominio es el conjunto de todos los números reales: $$\text{Dom}(f) = \mathbb{R}$$ Para el **recorrido**, observamos que: 1. $x^2 \ge 0$ para cualquier $x \in \mathbb{R}$. 2. $e^{-x} > 0$ para cualquier $x \in \mathbb{R}$. Como el producto de dos términos no negativos (siendo uno estrictamente positivo) es no negativo, entonces $f(x) \ge 0$ para todo $x$. Calculamos los límites en el infinito: - $\lim_{x \to -\infty} x^2 e^{-x} = (+\infty) \cdot (+\infty) = +\infty$. - $\lim_{x \to +\infty} x^2 e^{-x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{e^x} = 0$ (por la jerarquía de infinitos, la exponencial crece más rápido que el polinomio). Como $f(0) = 0$ y la función es continua, el valor mínimo absoluto es 0 y la función crece indefinidamente hacia $+\infty$. 💡 **Tip:** El recorrido de una función continua es el intervalo entre su valor mínimo absoluto y su valor máximo absoluto (o el límite si tiende a infinito). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Dominio: } \mathbb{R}, \quad \text{Recorrido: } [0, +\infty)}$$

**c) Los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de dicha función $f$. (2 puntos).** Para estudiar el crecimiento, calculamos la primera derivada $f'(x)$ usando la regla del producto: $$f(x) = x^2 e^{-x}$$ $$f'(x) = 2x \cdot e^{-x} + x^2 \cdot (-e^{-x}) = (2x - x^2)e^{-x} = x(2 - x)e^{-x}$$ Buscamos los puntos críticos donde $f'(x) = 0$: $$x(2 - x)e^{-x} = 0$$ Como $e^{-x} \neq 0$ siempre, las soluciones son $x = 0$ y $x = 2$. Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por estos puntos: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, 2) & 2 & (2, +\infty)\\\hline f'(x) & - & 0 & + & 0 & - \end{array}$$ - En $(-\infty, 0)$, $f'(x) < 0$, la función es **decreciente**. - En $(0, 2)$, $f'(x) > 0$, la función es **creciente**. - En $(2, +\infty)$, $f'(x) < 0$, la función es **decreciente**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Creciente: } (0, 2), \quad \text{Decreciente: } (-\infty, 0) \cup (2, +\infty)}$$

**b) Los valores de $x$ donde la función $f(x) = x^2 e^{-x}$ alcanza el máximo relativo y el mínimo relativo. (2 puntos).** Basándonos en el estudio del signo de la derivada realizado en el paso anterior: - En $x = 0$, la función pasa de decrecer a crecer, por lo que hay un **mínimo relativo**. - En $x = 2$, la función pasa de crecer a decrecer, por lo que hay un **máximo relativo**. Calculamos las ordenadas: - $f(0) = 0^2 e^{0} = 0 \implies (0, 0)$ - $f(2) = 2^2 e^{-2} = \frac{4}{e^2} \approx 0.54 \implies (2, 4e^{-2})$ 💡 **Tip:** El criterio de la primera derivada nos dice que si $f'(a)=0$ y $f'$ cambia de $-$ a $+$, hay un mínimo. Si cambia de $+$ a $-$, hay un máximo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Mínimo relativo en } x = 0, \quad \text{Máximo relativo en } x = 2}$$

**d) Los valores de $x$ donde la función $f(x) = x^2 e^{-x}$ tiene los puntos de inflexión. (2 puntos).** Calculamos la segunda derivada $f''(x)$ derivando $f'(x) = (2x - x^2)e^{-x}$: $$f''(x) = (2 - 2x)e^{-x} + (2x - x^2)(-e^{-x})$$ $$f''(x) = (2 - 2x - 2x + x^2)e^{-x} = (x^2 - 4x + 2)e^{-x}$$ Igualamos a cero para encontrar posibles puntos de inflexión: $$(x^2 - 4x + 2)e^{-x} = 0 \implies x^2 - 4x + 2 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}$$ Los valores son $x_1 = 2 - \sqrt{2} \approx 0.58$ y $x_2 = 2 + \sqrt{2} \approx 3.41$. Estudiamos el signo de $f''(x)$ (que depende sólo del polinomio $x^2-4x+2$ ya que $e^{-x} > 0$): $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, 2-\sqrt{2}) & 2-\sqrt{2} & (2-\sqrt{2}, 2+\sqrt{2}) & 2+\sqrt{2} & (2+\sqrt{2}, +\infty)\\\hline f''(x) & + & 0 & - & 0 & + \end{array}$$ Como hay cambio de curvatura en ambos puntos, ambos son puntos de inflexión. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = 2 - \sqrt{2}, \quad x = 2 + \sqrt{2}}$$

**e) La gráfica de la curva $y = x^2 e^{-x}$, explicando con detalle la obtención de su asíntota horizontal. (2 puntos).** Para hallar la asíntota horizontal, calculamos los límites en el infinito: 1. Cuando $x \to +\infty$: $$\lim_{x \to +\infty} x^2 e^{-x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{e^x} = \left[ \frac{\infty}{\infty} \right]$$ Aplicamos la regla de L'Hôpital: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{2x}{e^x} = \left[ \frac{\infty}{\infty} \right] \xrightarrow{L'H} \lim_{x \to +\infty} \frac{2}{e^x} = 0$$ Existe una asíntota horizontal $y = 0$ cuando $x \to +\infty$. 2. Cuando $x \to -\infty$: $$\lim_{x \to -\infty} x^2 e^{-x} = (+\infty) \cdot (+\infty) = +\infty$$ No hay asíntota horizontal por la izquierda. 💡 **Tip:** Una asíntota horizontal $y=L$ existe si el límite de la función cuando $x$ tiende a infinito es un número real $L$. ✅ **Resultado (Asíntota):** $$\boxed{y = 0 \text{ cuando } x \to +\infty}$$