Posiciones relativas de rectas y ecuaciones de planos

**a) El valor de $\alpha$ para el que las rectas $r$ y $s$ están contenidas en un plano. (4 puntos).** Para estudiar la posición relativa, primero identificamos un punto y un vector director de cada recta. Para la recta $r$ (en forma paramétrica): - Punto $P_r = (3, -1, 2)$ - Vector director $\vec{v}_r = (1, 2, 1)$ Para la recta $s$ (en forma implícita), obtenemos su vector director mediante el producto vectorial de los normales de los planos que la definen: $$\vec{v}_s = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & -1 \end{vmatrix}$$ Resolviendo por Sarrus: $$\vec{v}_s = \mathbf{i}(-2) - \mathbf{j}(-1) + \mathbf{k}(3) = (-2, 1, 3)$$ Ahora buscamos un punto $P_s$ de la recta $s$. Damos un valor arbitrario a una variable, por ejemplo $y = 0$: $$x + 2(0) - 1 = 0 \implies x = 1$$ $$3(0) - z + 2 + \alpha = 0 \implies z = 2 + \alpha$$ - Punto $P_s = (1, 0, 2 + \alpha)$ 💡 **Tip:** El vector director de una recta dada como intersección de dos planos se puede hallar siempre con el producto vectorial de los vectores normales de dichos planos.

Para que dos rectas estén contenidas en un mismo plano (sean coplanarias), el vector que une un punto de cada recta $\vec{P_r P_s}$ debe ser linealmente dependiente de los vectores directores $\vec{v}_r$ y $\vec{v}_s$. Calculamos el vector $\vec{P_r P_s}$: $$\vec{P_r P_s} = P_s - P_r = (1 - 3, 0 - (-1), 2 + \alpha - 2) = (-2, 1, \alpha)$$ La condición de coplanariedad exige que el determinante formado por los tres vectores sea cero: $$\det(\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{P_r P_s}) = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ -2 & 1 & 3 \\ -2 & 1 & \alpha \end{vmatrix} = 0$$ Calculamos el determinante: $$(1 \cdot 1 \cdot \alpha) + (2 \cdot 3 \cdot (-2)) + (1 \cdot (-2) \cdot 1) - [((-2) \cdot 1 \cdot 1) + (1 \cdot 3 \cdot 1) + (\alpha \cdot (-2) \cdot 2)] = 0$$ $$\alpha - 12 - 2 - [-2 + 3 - 4\alpha] = 0$$ $$\alpha - 14 - [1 - 4\alpha] = 0$$ $$\alpha - 14 - 1 + 4\alpha = 0 \implies 5\alpha - 15 = 0$$ $$5\alpha = 15 \implies \alpha = 3$$ 💡 **Tip:** Si el determinante es cero, los vectores son coplanarios. Si además los vectores directores no son proporcionales (como ocurre aquí), las rectas se cortan en un punto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\alpha = 3}$$

**b) La ecuación del plano que contiene a las rectas $r$ y $s$ para el valor de $\alpha$ obtenido en el apartado anterior. (2 puntos).** Con $\alpha = 3$, el punto de $s$ es $P_s = (1, 0, 5)$. El plano $\pi$ buscado pasa por $P_r(3, -1, 2)$ y tiene como vectores directores $\vec{v}_r(1, 2, 1)$ y $\vec{v}_s(-2, 1, 3)$. El vector normal del plano $\vec{n}_\pi$ es el producto vectorial de los directores: $$\vec{n}_\pi = \vec{v}_r \times \vec{v}_s = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & 1 \\ -2 & 1 & 3 \end{vmatrix}$$ $$\vec{n}_\pi = \mathbf{i}(6 - 1) - \mathbf{j}(3 - (-2)) + \mathbf{k}(1 - (-4)) = (5, -5, 5)$$ Podemos simplificar el vector normal usando $\vec{n} = (1, -1, 1)$. La ecuación del plano es: $$1(x - 3) - 1(y + 1) + 1(z - 2) = 0$$ $$x - 3 - y - 1 + z - 2 = 0$$ $$x - y + z - 6 = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{x - y + z - 6 = 0}$$

**c) La ecuación del plano perpendicular a la recta $r$ que contiene el punto $(1, 2, 1)$. (4 puntos).** Si un plano es perpendicular a la recta $r$, el vector director de la recta $\vec{v}_r = (1, 2, 1)$ es precisamente el vector normal del plano $\vec{n}_\alpha$. La ecuación general de un plano con normal $(A, B, C)$ es $Ax + By + Cz + D = 0$. En este caso: $$1x + 2y + 1z + D = 0$$ Como el plano debe contener al punto $Q(1, 2, 1)$, sustituimos sus coordenadas para hallar $D$: $$1(1) + 2(2) + 1(1) + D = 0$$ $$1 + 4 + 1 + D = 0 \implies 6 + D = 0 \implies D = -6$$ Por lo tanto, la ecuación del plano es: $$x + 2y + z - 6 = 0$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la relación de perpendicularidad entre recta y plano intercambia el papel de sus vectores: el director de la recta es el normal del plano. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x + 2y + z - 6 = 0}$$