Matrices, invertibilidad y propiedades algebraicas

**a) Todos los valores reales $k$ para los que la matriz $B = A - kI$ tiene inversa. (2 puntos).** Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero. En primer lugar, construimos la matriz $B$: $$B = A - kI = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} - k \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -k & -2 \\ 1 & 3-k \end{pmatrix}$$ Calculamos su determinante: $$|B| = \det \begin{pmatrix} -k & -2 \\ 1 & 3-k \end{pmatrix} = (-k)(3-k) - (-2)(1)$$ $$|B| = -3k + k^2 + 2 = k^2 - 3k + 2$$ Para que exista $B^{-1}$, imponemos $|B| \neq 0$. Resolvemos la ecuación de segundo grado $k^2 - 3k + 2 = 0$: $$k = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(2)}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{9-8}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$$ Las raíces son $k_1 = 2$ y $k_2 = 1$. 💡 **Tip:** Recuerda que una matriz $M$ es invertible (o regular) $\iff \det(M) \neq 0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La matriz } B \text{ tiene inversa para todo } k \in \mathbb{R} \setminus \{1, 2\}}$$

**b) La matriz inversa $B^{-1}$ cuando $k = 3$. (2 puntos).** Si $k = 3$, la matriz $B$ es: $$B = \begin{pmatrix} -3 & -2 \\ 1 & 3-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & -2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$ Calculamos su determinante (sustituyendo $k=3$ en la expresión anterior o directamente): $$|B| = 3^2 - 3(3) + 2 = 2$$ Para hallar $B^{-1}$, usamos la fórmula $B^{-1} = \frac{1}{|B|} \text{Adj}(B)^t$. Hallamos los adjuntos de los elementos de $B$: - $C_{11} = +0 = 0$ - $C_{12} = -(1) = -1$ - $C_{21} = -(-2) = 2$ - $C_{22} = +(-3) = -3$ La matriz de adjuntos es $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}$. La traspuesta de la matriz de adjuntos (o adjunta de $B$) es: $$\text{Adj}(B) = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -1 & -3 \end{pmatrix}$$ Finalmente: $$B^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -1 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1/2 & -3/2 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para una matriz $2 \times 2$, $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{B^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1/2 & -3/2 \end{pmatrix}}$$

**c) Las constantes reales $\alpha$ y $\beta$ para las que se verifica que $A^2 + \alpha A + \beta I = -2I$. (4 puntos).** Primero calculamos $A^2$: $$A^2 = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (0)(0)+(-2)(1) & (0)(-2)+(-2)(3) \\ (1)(0)+(3)(1) & (1)(-2)+(3)(3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & -6 \\ 3 & 7 \end{pmatrix}$$ Sustituimos en la ecuación dada $A^2 + \alpha A + \beta I + 2I = O$ (pasando $-2I$ al primer miembro): $$\begin{pmatrix} -2 & -6 \\ 3 & 7 \end{pmatrix} + \alpha \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} + (\beta + 2) \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$ Sumamos las matrices elemento a elemento: $$\begin{pmatrix} -2 + \beta + 2 & -6 - 2\alpha \\ 3 + \alpha & 7 + 3\alpha + \beta + 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$ Obtenemos el sistema de ecuaciones: 1) $\beta = 0$ 2) $-6 - 2\alpha = 0 \implies -2\alpha = 6 \implies \alpha = -3$ 3) $3 + \alpha = 0 \implies 3 - 3 = 0$ (se cumple) 4) $9 + 3\alpha + \beta = 0 \implies 9 + 3(-3) + 0 = 0 \implies 0 = 0$ (se cumple) ✅ **Resultado:** $$\boxed{\alpha = -3, \quad \beta = 0}$$

**d) Comprobar razonadamente que la matriz $P = I - M$ cumple las relaciones: $P^2 = P$ y $MP = PM$. (2 puntos).** Sabemos que $M^2 = M$ y que la matriz identidad $I$ conmuta con cualquier matriz ($IM = MI = M$). **1. Comprobación de $P^2 = P$:** $$P^2 = (I - M)^2 = (I - M)(I - M)$$ Desarrollamos el producto usando la propiedad distributiva: $$P^2 = I \cdot I - I \cdot M - M \cdot I + M \cdot M$$ $$P^2 = I^2 - M - M + M^2$$ Como $I^2 = I$ y por enunciado $M^2 = M$: $$P^2 = I - 2M + M = I - M = P$$ **2. Comprobación de $MP = PM$:** Calculamos por separado cada producto: $$MP = M(I - M) = M \cdot I - M \cdot M = M - M^2$$ Como $M^2 = M$, entonces $MP = M - M = O$ (matriz nula). $$PM = (I - M)M = I \cdot M - M \cdot M = M - M^2$$ Como $M^2 = M$, entonces $PM = M - M = O$ (matriz nula). Dado que ambos resultados son la matriz nula, se cumple que $MP = PM$. 💡 **Tip:** En álgebra matricial, $(A-B)^2 = A^2 - AB - BA + B^2$. Solo si $AB=BA$ podemos decir que es $A^2 - 2AB + B^2$. En este caso $I$ conmuta con $M$, por lo que es válido. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P^2 = P \quad \text{y} \quad MP = PM = O}$$