Posición relativa de dos planos y recta de intersección

**a) (0'5 puntos) Estudiar su posición relativa.** Para estudiar la posición relativa de dos planos, analizamos sus vectores normales. Las ecuaciones generales de los planos son: $$\pi_1 \equiv 2x + 1y - 2z - 1 = 0 \implies \vec{n}_1 = (2, 1, -2)$$ $$\pi_2 \equiv 1x - 1y + 2z - 1 = 0 \implies \vec{n}_2 = (1, -1, 2)$$ Dos planos son paralelos si sus vectores normales son proporcionales, es decir, si existe un número $k$ tal que $\vec{n}_1 = k \cdot \vec{n}_2$. Comprobamos la proporcionalidad de las coordenadas: $$\frac{2}{1} \neq \frac{1}{-1} \neq \frac{-2}{2}$$ Como los vectores normales no son proporcionales, los planos no son paralelos ni coincidentes. 💡 **Tip:** Si los coeficientes $(A, B, C)$ de la ecuación $Ax+By+Cz+D=0$ no son proporcionales, los planos se cortan en una recta. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Los planos } \pi_1 \text{ y } \pi_2 \text{ se cortan en una recta.}}$$

**b) (1'5 puntos) En caso de que los planos sean paralelos hallar la distancia entre ellos; en caso de que se corten, hallar un punto y un vector de dirección de la recta que determinan.** Dado que los planos se cortan, el vector director de la recta resultante ($r$) es perpendicular a ambos vectores normales. Por tanto, podemos calcularlo mediante el producto vectorial de $\vec{n}_1$ y $\vec{n}_2$: $$\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante por la regla de Sarrus o desarrollo por filas: $$\vec{v}_r = \vec{i} \cdot \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} - \vec{j} \cdot \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} + \vec{k} \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{v}_r = (2 - 2)\vec{i} - (4 - (-2))\vec{j} + (-2 - 1)\vec{k}$$ $$\vec{v}_r = 0\vec{i} - 6\vec{j} - 3\vec{k} = (0, -6, -3)$$ Podemos simplificar el vector director dividiendo por $-3$ para trabajar con valores más sencillos: $\vec{v}_r = (0, 2, 1)$. 💡 **Tip:** Cualquier vector proporcional al obtenido también es un vector director válido de la misma recta. $$\boxed{\vec{v}_r = (0, 2, 1)}$$

Para encontrar un punto $P$ de la recta, resolvemos el sistema formado por las ecuaciones de los dos planos: $$\begin{cases} 2x + y - 2z = 1 \\ x - y + 2z = 1 \end{cases}$$ Este es un sistema de 2 ecuaciones con 3 incógnitas (sistema compatible indeterminado). Podemos fijar el valor de una de las variables. Si hacemos **$z = 0$**: $$\begin{cases} 2x + y = 1 \\ x - y = 1 \end{cases}$$ Sumamos ambas ecuaciones para eliminar la $y$: $$(2x + y) + (x - y) = 1 + 1 \implies 3x = 2 \implies x = \frac{2}{3}$$ Ahora despejamos $y$ en la segunda ecuación: $$y = x - 1 = \frac{2}{3} - 1 = -\frac{1}{3}$$ Por tanto, un punto de la recta es $P\left(\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}, 0\right)$. 💡 **Tip:** Puedes elegir cualquier valor para una de las variables (siempre que el sistema resultante sea resoluble) para obtener distintos puntos de la recta. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{P\left(\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}, 0\right), \quad \vec{v}_r = (0, 2, 1)}$$