Discusión y resolución de un sistema con parámetros

**a) (2 puntos) Discutir el sistema de ecuaciones $AX = B$, según los valores de $m$.** Escribimos la matriz ampliada del sistema $A^*$: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 0 & 1 & m-1 & m \\ 0 & m-1 & 1 & m \\ m-2 & 0 & 0 & m+2 \end{array}\right)$$ Para discutir el sistema, empezamos calculando el determinante de la matriz de coeficientes $A$. Como la tercera fila tiene dos ceros, desarrollamos por dicha fila: $$|A| = \begin{vmatrix} 0 & 1 & m - 1 \\ 0 & m - 1 & 1 \\ m - 2 & 0 & 0 \end{vmatrix} = (m-2) \cdot (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} 1 & m-1 \\ m-1 & 1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = (m-2) [1 - (m-1)^2] = (m-2) [1 - (m^2 - 2m + 1)]$$ $$|A| = (m-2) (2m - m^2) = (m-2) \cdot m \cdot (2-m) = -m(m-2)^2$$ 💡 **Tip:** Al expandir por una fila o columna, recuerda el signo del cofactor: $(-1)^{i+j}$. Aquí, el elemento $a_{31}$ tiene $(-1)^{3+1} = +1$. Calculamos los valores que anulan el determinante: $$-m(m-2)^2 = 0 \implies m = 0, \quad m = 2$$ $$\boxed{|A| = -m(m-2)^2}$$

Si $m \neq 0$ y $m \neq 2$, el determinante de $A$ es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Por tanto, el rango de la matriz de coeficientes es $\text{rg}(A) = 3$. Como el rango de la matriz ampliada $A^*$ no puede ser mayor que 3 (número de filas) y el sistema tiene 3 incógnitas: $$\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 3 = \text{nº incógnitas}$$ Según el **teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**, es decir, tiene una solución única. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } m \in \mathbb{R} \setminus \{0, 2\} \implies \text{SCD}}$$

Si $m = 0$, sustituimos en la matriz ampliada: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 0 & 2 \end{array}\right)$$ Observamos que la segunda fila es proporcional a la primera ($F_2 = -F_1$), por lo que podemos eliminarla para calcular el rango: $$\text{rg}(A) = \text{rg}\begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ -2 & 0 & 0 \end{pmatrix} = 2$$ Ya que existe un menor de orden 2 no nulo, por ejemplo $\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$, probamos con $\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ -2 & 0 \end{vmatrix} = 2 \neq 0$. Para el rango de $A^*$, al ser la columna de términos independientes nula en las dos primeras filas y $F_2 = -F_1$, el rango también es 2: $$\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 < 3 = \text{nº incógnitas}$$ Según el **teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**, tiene infinitas soluciones. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } m = 0 \implies \text{SCI}}$$

Si $m = 2$, sustituimos en la matriz ampliada: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}\right)$$ Analizamos los rangos: - En la matriz $A$, las dos primeras filas son iguales y la tercera es de ceros. El rango es $\text{rg}(A) = 1$ (el único menor no nulo es de orden 1, por ejemplo el $|1|$). - En la matriz $A^*$, la tercera fila indica la ecuación $0 = 4$, lo cual es una contradicción. Si calculamos el rango mediante un menor de orden 2: $$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 4 \end{vmatrix} = 4 \neq 0 \implies \text{rg}(A^*) = 2$$ Como $\text{rg}(A) \neq \text{rg}(A^*)$, por el **teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Incompatible (SI)**, no tiene solución. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } m = 2 \implies \text{SI}}$$

**b) (1 punto) Resolver el sistema en los casos $m = 0$ y $m = 1$.** Para $m = 0$, el sistema es SCI. Usamos las filas 1 y 3 de la matriz reducida del paso anterior: $$\begin{cases} y - z = 0 \\ -2x = 2 \end{cases}$$ De la segunda ecuación: $x = -1$. De la primera ecuación: $y = z$. Parametrizamos $z = \lambda$: $$\boxed{\text{Solución: } \begin{cases} x = -1 \\ y = \lambda \\ z = \lambda \end{cases} \text{ con } \lambda \in \mathbb{R}}$$

Para $m = 1$, el sistema es SCD. Sustituimos $m=1$ en el sistema original: $$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}$$ El sistema de ecuaciones resultante es: $$\begin{cases} y = 1 \\ z = 1 \\ -x = 3 \end{cases}$$ De forma inmediata obtenemos los valores: - $x = -3$ - $y = 1$ - $z = 1$ 💡 **Tip:** Cuando una matriz tiene muchos ceros, como en este caso para $m=1$, a veces es más rápido resolver por sustitución directa que por la regla de Cramer. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = -3, \, y = 1, \, z = 1}$$