Estudio de una función racional con parámetros

**a) (1 punto) Determinar el valor de $a$ para el que la función posee un mínimo relativo en $x = 1$. Para ese valor de $a$, obtener los otros puntos en que $f$ tiene un extremo relativo.** Primero, observamos que el dominio de la función es $\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{0\}$. Para que haya un extremo relativo en $x = 1$, la primera derivada debe ser nula en ese punto ($f'(1) = 0$). Calculamos $f'(x)$ usando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(4ax^3)(x^3) - (ax^4 + 1)(3x^2)}{(x^3)^2}$$ $$f'(x) = \frac{4ax^6 - 3ax^6 - 3x^2}{x^6} = \frac{ax^6 - 3x^2}{x^6}$$ Simplificando por $x^2$ (ya que $x \neq 0$): $$f'(x) = \frac{ax^4 - 3}{x^4}$$ Imponemos la condición $f'(1) = 0$: $$f'(1) = \frac{a(1)^4 - 3}{1^4} = a - 3 = 0 \implies a = 3$$ 💡 **Tip:** Para confirmar que es un mínimo, usamos la segunda derivada: $$f''(x) = \frac{(4ax^3)(x^4) - (ax^4 - 3)(4x^3)}{x^8} = \frac{4ax^7 - 4ax^7 + 12x^3}{x^8} = \frac{12}{x^5}$$ Para $a = 3$, $f''(1) = \frac{12}{1^5} = 12 > 0$, lo que confirma que en $x=1$ hay un **mínimo relativo**. ✅ **Resultado (valor de a):** $$\boxed{a = 3}$$

Para $a = 3$, buscamos otros valores que anulen la derivada $f'(x) = \frac{3x^4 - 3}{x^4}$: $$3x^4 - 3 = 0 \implies x^4 = 1 \implies x = \pm 1$$ Ya conocemos $x = 1$. El otro punto crítico es $x = -1$. Evaluamos en la segunda derivada: $$f''(-1) = \frac{12}{(-1)^5} = -12 < 0$$ Al ser negativa, en $x = -1$ existe un **máximo relativo**. Calculamos las ordenadas de los puntos: - Para $x = 1$: $f(1) = \frac{3(1)^4+1}{1^3} = 4$. Punto: $(1, 4)$. - Para $x = -1$: $f(-1) = \frac{3(-1)^4+1}{(-1)^3} = \frac{4}{-1} = -4$. Punto: $(-1, -4)$. **Tabla de monotonía para $a=3$:** $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,0) & (0,1) & 1 & (1,+\infty)\\\hline f'(x) & + & 0 & - & - & 0 & + \\\hline \text{Función} & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ ✅ **Resultado (otros extremos):** $$\boxed{\text{Máximo relativo en } (-1, -4)}$$

**b) (1 punto) Obtener las asíntotas de la gráfica de $y = f(x)$ para $a = 1$.** Para $a = 1$, la función es $f(x) = \frac{x^4 + 1}{x^3}$. **1. Asíntotas Verticales (AV):** El denominador se anula en $x = 0$. Calculamos los límites laterales: $$\lim_{x \to 0^+} \frac{x^4 + 1}{x^3} = \frac{1}{0^+} = +\infty$$ $$\lim_{x \to 0^-} \frac{x^4 + 1}{x^3} = \frac{1}{0^-} = -\infty$$ Existe una **asíntota vertical en $x = 0$**. **2. Asíntotas Horizontales (AH):** $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^4 + 1}{x^3} = \pm\infty$$ No existen asíntotas horizontales. **3. Asíntotas Oblicuas (AO):** Al ser el grado del numerador uno más que el del denominador, existe AO de la forma $y = mx + n$. $$m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^4 + 1}{x^4} = 1$$ $$n = \lim_{x \to \infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^4 + 1}{x^3} - x \right) = \lim_{x \to \infty} \frac{x^4 + 1 - x^4}{x^3} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^3} = 0$$ Existe una **asíntota oblicua en $y = x$**. ✅ **Resultado (asíntotas):** $$\boxed{\text{AV: } x = 0, \quad \text{AO: } y = x}$$

**c) (1 punto) Esbozar la gráfica de la función para $a = 1$.** Para realizar el esbozo con $a=1$, analizamos la derivada: $$f'(x) = \frac{x^4 - 3}{x^4}$$ Extremos relativos: $x^4 - 3 = 0 \implies x = \pm \sqrt[4]{3} \approx \pm 1.316$. - Mínimo en $x = \sqrt[4]{3} \approx 1.32, f(1.32) \approx 1.75$. - Máximo en $x = -\sqrt[4]{3} \approx -1.32, f(-1.32) \approx -1.75$. La función es impar: $f(-x) = \frac{(-x)^4 + 1}{(-x)^3} = \frac{x^4 + 1}{-x^3} = -f(x)$. Por tanto, es simétrica respecto al origen. La gráfica se acerca a la recta $y = x$ cuando $x \to \pm \infty$ y se pega al eje $Y$ ($x=0$) en el origen. **Esbozo:**