Integral definida y Extremos absolutos

**a) (1 punto) Calcular la integral $\int_{1}^{3} x \sqrt{4 + 5x^2} dx$.** Observamos que la integral tiene la forma de una función compuesta multiplicada por una expresión proporcional a la derivada de su base. Es decir, es una integral de tipo potencia: $$\int f'(x) \cdot [f(x)]^n dx = \frac{[f(x)]^{n+1}}{n+1} + C$$ En nuestro caso, la función interna es $g(x) = 4 + 5x^2$, cuya derivada es $g'(x) = 10x$. En el integrando tenemos $x$, por lo que ajustaremos la constante multiplicando y dividiendo por $10$: $$\int x \sqrt{4 + 5x^2} dx = \int x (4 + 5x^2)^{1/2} dx = \frac{1}{10} \int 10x (4 + 5x^2)^{1/2} dx$$ Calculamos la primitiva: $$\frac{1}{10} \frac{(4 + 5x^2)^{1/2 + 1}}{1/2 + 1} = \frac{1}{10} \frac{(4 + 5x^2)^{3/2}}{3/2} = \frac{1}{10} \cdot \frac{2}{3} (4 + 5x^2)^{3/2} = \frac{1}{15} \sqrt{(4 + 5x^2)^3}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\sqrt{u} = u^{1/2}$. Siempre que veas una raíz con un polinomio dentro y fuera una $x$ con un grado menos, sospecha de una integral tipo potencia o cambio de variable.

Para calcular la integral definida entre $1$ y $3$, aplicamos la Regla de Barrow utilizando la primitiva hallada: $$I = \left[ \frac{1}{15} \sqrt{(4 + 5x^2)^3} \right]_{1}^{3}$$ Evaluamos en el límite superior ($x=3$): $$F(3) = \frac{1}{15} \sqrt{(4 + 5 \cdot 3^2)^3} = \frac{1}{15} \sqrt{(4 + 45)^3} = \frac{1}{15} \sqrt{49^3} = \frac{1}{15} (\sqrt{49})^3 = \frac{7^3}{15} = \frac{343}{15}$$ Evaluamos en el límite inferior ($x=1$): $$F(1) = \frac{1}{15} \sqrt{(4 + 5 \cdot 1^2)^3} = \frac{1}{15} \sqrt{9^3} = \frac{1}{15} (\sqrt{9})^3 = \frac{3^3}{15} = \frac{27}{15}$$ Restamos ambos valores: $$I = F(3) - F(1) = \frac{343}{15} - \frac{27}{15} = \frac{316}{15}$$ ✅ **Resultado de la integral:** $$\boxed{\frac{316}{15}}$$

**b) (1 punto) Hallar los valores mínimo y máximo absolutos de la función $f(x) = \sqrt{12 - 3x^2}$.** Primero, debemos determinar el dominio de definición de la función, ya que los extremos absolutos dependen del intervalo de existencia. Para que la raíz cuadrada sea real, el radicando debe ser no negativo: $$12 - 3x^2 \ge 0 \implies 12 \ge 3x^2 \implies 4 \ge x^2 \implies |x| \le 2$$ Por tanto, el dominio es el intervalo cerrado: $$\text{Dom}(f) = [-2, 2]$$ Como la función es continua en un intervalo cerrado y acotado, el Teorema de Weierstrass garantiza la existencia de máximos y mínimos absolutos. Estos se encontrarán en los puntos críticos (donde $f'(x)=0$) o en los extremos del intervalo. 💡 **Tip:** Siempre que te pidan extremos absolutos, el primer paso es acotar el dominio de la función.

Calculamos la derivada de $f(x) = (12 - 3x^2)^{1/2}$ usando la regla de la cadena: $$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{12 - 3x^2}} \cdot (-6x) = \frac{-3x}{\sqrt{12 - 3x^2}}$$ Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$f'(x) = 0 \implies -3x = 0 \implies x = 0$$ El punto $x=0$ pertenece al dominio $(-2, 2)$, por lo que es un candidato a extremo.

Analizamos el signo de la derivada en el dominio para ver el comportamiento de la función: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-2, 0) & 0 & (0, 2)\\\hline f'(x) & + & 0 & -\\\hline f(x) & \nearrow & \text{Máx} & \searrow \end{array}$$ Ahora evaluamos la función en el punto crítico y en los extremos del dominio: 1. En $x = 0$ (punto crítico): $$f(0) = \sqrt{12 - 3(0)^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \approx 3.46$$ 2. En los extremos $x = 2$ y $x = -2$: $$f(2) = \sqrt{12 - 3(2)^2} = \sqrt{12 - 12} = 0$$ $$f(-2) = \sqrt{12 - 3(-2)^2} = \sqrt{12 - 12} = 0$$ Comparando los valores: - El valor más alto es $2\sqrt{3}$. - El valor más bajo es $0$. ✅ **Resultado (extremos absolutos):** $$\boxed{\text{Máximo absoluto: } 2\sqrt{3} \text{ en } x=0, \quad \text{Mínimo absoluto: } 0 \text{ en } x=2 \text{ y } x=-2}$$