Volumen de un tetraedro y recta perpendicular común

**a) (1'5 puntos) Hallar el volumen del tetraedro que tiene un vértice en el origen y los otros tres vértices en las intersecciones de las rectas $r_1, r_2, r_3$ con el plano $\pi$.** Identificamos primero los cuatro vértices del tetraedro. El primer vértice es el origen: $O(0, 0, 0)$. Los otros tres vértices ($A, B$ y $C$) son los puntos de corte de cada recta con el plano $\pi \equiv 2x + 3y + 7z = 24$: 1. **Punto $A$ (Intersección $r_1 \cap \pi$):** La recta $r_1$ es $x=y=z$. Sustituimos en la ecuación del plano: $$2(x) + 3(x) + 7(x) = 24 \implies 12x = 24 \implies x = 2.$$ Como $x=y=z$, el punto es **$A(2, 2, 2)$**. 2. **Punto $B$ (Intersección $r_2 \cap \pi$):** La recta $r_2$ tiene ecuaciones $y=0, z=0$. Sustituimos en $\pi$: $$2x + 3(0) + 7(0) = 24 \implies 2x = 24 \implies x = 12.$$ El punto es **$B(12, 0, 0)$**. 3. **Punto $C$ (Intersección $r_3 \cap \pi$):** La recta $r_3$ tiene ecuaciones $x=0, z=0$. Sustituimos en $\pi$: $$2(0) + 3y + 7(0) = 24 \implies 3y = 24 \implies y = 8.$$ El punto es **$C(0, 8, 0)$**.

El volumen de un tetraedro definido por los vectores $\vec{OA}$, $\vec{OB}$ y $\vec{OC}$ se calcula mediante la sexta parte del valor absoluto del producto mixto: $$V = \frac{1}{6} |[\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}]|$$ Los vectores desde el origen son: $$\vec{OA} = (2, 2, 2), \quad \vec{OB} = (12, 0, 0), \quad \vec{OC} = (0, 8, 0)$$ Calculamos el determinante del producto mixto (desarrollando por la segunda fila, que tiene más ceros): $$|[\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}]| = \begin{vmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 12 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \end{vmatrix} = -12 \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 8 & 0 \end{vmatrix} = -12(0 - 16) = 192$$ Calculamos el volumen: $$V = \frac{1}{6} \cdot 192 = 32$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el volumen del tetraedro es $\frac{1}{6}$ del volumen del paralelepípedo formado por los mismos vectores. ✅ **Resultado:** $$\boxed{V = 32 \text{ u}^3}$$

**b) (1'5 puntos) Hallar la recta $s$ que corta perpendicularmente a las rectas $r_4$ y $r_5$.** Extraemos los elementos característicos de $r_4$ y $r_5$: - $r_4$ pasa por $P_4(-1, 5, -1)$ con dirección $\vec{d_4} = (1, 2, -2)$. - $r_5$ pasa por $P_5(0, -1, 1)$ con dirección $\vec{d_5} = (2, 3, -1)$. La recta $s$ (perpendicular común) tendrá una dirección $\vec{d_s}$ perpendicular a ambos vectores directores. Calculamos el producto vectorial: $$\vec{d_s} = \vec{d_4} \times \vec{d_5} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & -2 \\ 2 & 3 & -1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante: $$\vec{d_s} = \mathbf{i}(-2 - (-6)) - \mathbf{j}(-1 - (-4)) + \mathbf{k}(3 - 4) = 4\mathbf{i} - 3\mathbf{j} - 1\mathbf{k}$$ $$\vec{d_s} = (4, -3, -1)$$ 💡 **Tip:** La perpendicular común a dos rectas oblicuas tiene como dirección el producto vectorial de sus vectores directores.

Para hallar la recta $s$, la definiremos como la intersección de dos planos $\pi_1$ y $\pi_2$: - El plano $\pi_1$ contiene a $r_4$ y a la dirección $\vec{d_s}$. - El plano $\pi_2$ contiene a $r_5$ y a la dirección $\vec{d_s}$. **Cálculo de $\pi_1$:** $$\pi_1 \equiv \begin{vmatrix} x+1 & y-5 & z+1 \\ 1 & 2 & -2 \\ 4 & -3 & -1 \end{vmatrix} = 0$$ $$(x+1)(-2-6) - (y-5)(-1+8) + (z+1)(-3-8) = 0$$ $$-8(x+1) - 7(y-5) - 11(z+1) = 0 \implies -8x - 8 - 7y + 35 - 11z - 11 = 0$$ $$\pi_1 \equiv 8x + 7y + 11z - 16 = 0$$ **Cálculo de $\pi_2$:** $$\pi_2 \equiv \begin{vmatrix} x & y+1 & z-1 \\ 2 & 3 & -1 \\ 4 & -3 & -1 \end{vmatrix} = 0$$ $$x(-3-3) - (y+1)(-2+4) + (z-1)(-6-12) = 0$$ $$-6x - 2(y+1) - 18(z-1) = 0 \implies -6x - 2y - 2 - 18z + 18 = 0$$ Dividiendo entre $-2$: $$\pi_2 \equiv 3x + y + 9z - 8 = 0$$

La recta $s$ es la intersección de ambos planos, expresada en su forma implícita. ✅ **Resultado:** $$\boxed{s \equiv \begin{cases} 8x + 7y + 11z - 16 = 0 \\ 3x + y + 9z - 8 = 0 \end{cases}}$$