Rango de una matriz y discusión de sistemas con parámetros

**a) (1 punto) Calcular el rango de $A$ en función de los valores de $a$.** El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo. Empezamos calculando el determinante de $A$ mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 2a & -2 & a^2 \\ -1 & a & -1 \\ 2 & 1 & a \end{vmatrix}$$ $$|A| = (2a \cdot a \cdot a) + ((-2) \cdot (-1) \cdot 2) + (a^2 \cdot (-1) \cdot 1) - (2 \cdot a \cdot a^2) - (1 \cdot (-1) \cdot 2a) - (a \cdot (-1) \cdot (-2))$$ $$|A| = 2a^3 + 4 - a^2 - 2a^3 + 2a - 2a$$ Simplificando los términos: $$|A| = 4 - a^2$$ 💡 **Tip:** El determinante de una matriz $3 \times 3$ permite determinar si el rango es 3. Si $|A| \neq 0$, entonces $\text{rg}(A) = 3$. $$\boxed{|A| = 4 - a^2}$$

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos: $$4 - a^2 = 0 \implies a^2 = 4 \implies a = \pm 2$$ Analizamos los casos: 1. **Si $a \neq 2$ y $a \neq -2$**: El determinante $|A| \neq 0$, por lo tanto, el rango es máximo: $$\boxed{\text{rg}(A) = 3}$$ 2. **Si $a = 2$**: La matriz es $A = \begin{pmatrix} 4 & -2 & 4 \\ -1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix}$. El determinante es $|A| = 0$, así que $\text{rg}(A) < 3$. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 4 & -2 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = 8 - 2 = 6 \neq 0 \implies \boxed{\text{rg}(A) = 2}$$ 3. **Si $a = -2$**: La matriz es $A = \begin{pmatrix} -4 & -2 & 4 \\ -1 & -2 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \end{pmatrix}$. De nuevo, $|A| = 0$. Buscamos un menor de orden 2: $$\begin{vmatrix} -4 & -2 \\ -1 & -2 \end{vmatrix} = 8 - 2 = 6 \neq 0 \implies \boxed{\text{rg}(A) = 2}$$

**b) (1 punto) En el caso $a = 2$, discutir el sistema $A \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ b \end{pmatrix}$ en función de los valores de $b$, y resolverlo cuando sea posible.** Para $a = 2$, tenemos la matriz ampliada $A^* = \begin{pmatrix} 4 & -2 & 4 & | & 2 \\ -1 & 2 & -1 & | & 1 \\ 2 & 1 & 2 & | & b \end{pmatrix}$. Ya sabemos que $\text{rg}(A) = 2$. Estudiamos el rango de $A^*$ orlando el menor de orden 2 que era no nulo con la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 4 & -2 & 2 \\ -1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & b \end{vmatrix} = (4 \cdot 2 \cdot b) + (-2 \cdot 1 \cdot 2) + (2 \cdot (-1) \cdot 1) - (2 \cdot 2 \cdot 2) - (1 \cdot (-1) \cdot 4) - (b \cdot (-1) \cdot (-2))$$ $$= 8b - 4 - 2 - (8 - 4 + 2b) = 8b - 6 - 4 - 2b = 6b - 10$$ *Nota: Recalculando con cuidado*: $$= 8b - 4 - 2 - 8 + 4 - 2b = 6b - 10$$ Revisión de Sarrus: $(8b - 4 - 2) - (8 + 4 + 2b) = 8b - 6 - 12 - 2b = 6b - 18$. Resolviendo $6b - 18 = 0 \implies b = 3$. - **Si $b \neq 3$**: $\text{rg}(A^*) = 3$. Como $\text{rg}(A) = 2 \neq \text{rg}(A^*)$, por el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Incompatible (SI)**. - **Si $b = 3$**: $\text{rg}(A^*) = 2$. Como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 < 3$ (nº incógnitas), el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**. 💡 **Tip:** El teorema de Rouché-Frobenius es fundamental: $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = n \implies$ SCD; $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) < n \implies$ SCI; $\text{rg}(A) \neq \text{rg}(A^*) \implies$ SI.

Para $b = 3$, el sistema es equivalente a usar las dos últimas ecuaciones (independientes): $$\begin{cases} -x + 2y - z = 1 \\ 2x + y + 2z = 3 \end{cases}$$ Hacemos $z = \lambda$: $$\begin{cases} -x + 2y = 1 + \lambda \\ 2x + y = 3 - 2\lambda \end{cases}$$ Multiplicamos la primera por 2 y sumamos: $$-2x + 4y = 2 + 2\lambda$$ $$2x + y = 3 - 2\lambda$$ $$5y = 5 \implies y = 1$$ Sustituimos $y=1$ en la segunda: $2x + 1 = 3 - 2\lambda \implies 2x = 2 - 2\lambda \implies x = 1 - \lambda$. ✅ **Resultado b):** $$\boxed{\text{Si } b \neq 3: \text{ SI; Si } b = 3: \text{ SCI con sol: } (1-\lambda, 1, \lambda)}$$

**c) (1 punto) En el caso $a = 1$, resolver el sistema $A \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$.** Si $a = 1$, el determinante $|A| = 4 - 1^2 = 3 \neq 0$. El sistema es **Compatible Determinado**. El sistema es: $$\begin{cases} 2x - 2y + z = -1 \\ -x + y - z = 2 \\ 2x + y + z = 2 \end{cases}$$ Podemos sumar las dos primeras ecuaciones para eliminar $y$ y $z$: $$(2x - 2y + z) + 2(-x + y - z) = -1 + 2(2) \implies 2x - 2y + z - 2x + 2y - 2z = 3 \implies -z = 3 \implies z = -3$$ Sustituimos $z = -3$ en las ecuaciones (2) y (3): 1) $-x + y - (-3) = 2 \implies -x + y = -1$ 2) $2x + y - 3 = 2 \implies 2x + y = 5$ Restamos la primera de la segunda: $$(2x + y) - (-x + y) = 5 - (-1) \implies 3x = 6 \implies x = 2$$ Sustituimos $x = 2$ en $-x + y = -1 \implies -2 + y = -1 \implies y = 1$. Verificamos en la primera ecuación original: $2(2) - 2(1) + (-3) = 4 - 2 - 3 = -1$. ¡Correcto! ✅ **Resultado c):** $$\boxed{x = 2, y = 1, z = -3}$$