Cálculo de área y volumen de revolución de una función trigonométrica

**a) (1 punto) Hallar el área del recinto limitado por la gráfica de $f(x) = -\operatorname{sen} x$ y el eje $OX$ entre las abscisas $x = 0$ y $x = 2\pi$.** Para calcular el área del recinto limitado por una función y el eje $OX$, primero debemos determinar si la función cruza el eje en el intervalo dado $[0, 2\pi]$. Para ello, resolvemos $f(x) = 0$: $$-\operatorname{sen} x = 0 \implies \operatorname{sen} x = 0$$ En el intervalo $[0, 2\pi]$, los valores de $x$ que cumplen esta condición son: $$x = 0, \quad x = \pi, \quad x = 2\pi$$ Esto significa que el recinto se divide en dos regiones: una de $0$ a $\pi$ y otra de $\pi$ a $2\pi$. 💡 **Tip:** El área total es la suma de los valores absolutos de las integrales en cada subintervalo donde la función mantiene el mismo signo.

El área total $A$ viene dada por la suma de las áreas de los dos recintos: $$A = \left| \int_{0}^{\pi} f(x) \, dx \right| + \left| \int_{\pi}^{2\pi} f(x) \, dx \right|$$ Calculamos primero la integral indefinida: $$\int -\operatorname{sen} x \, dx = \cos x + C$$ Ahora aplicamos la Regla de Barrow en cada intervalo: 1. **Para el primer intervalo $[0, \pi]$:** $$\int_{0}^{\pi} -\operatorname{sen} x \, dx = \left[ \cos x \right]_{0}^{\pi} = \cos(\pi) - \cos(0) = -1 - 1 = -2$$ El área de este trozo es $|-2| = 2$ u². 2. **Para el segundo intervalo $[\pi, 2\pi]$:** $$\int_{\pi}^{2\pi} -\operatorname{sen} x \, dx = \left[ \cos x \right]_{\pi}^{2\pi} = \cos(2\pi) - \cos(\pi) = 1 - (-1) = 2$$ El área de este trozo es $|2| = 2$ u². 💡 **Tip:** En el intervalo $[0, \pi]$, la función $-\operatorname{sen} x$ es negativa, por eso la integral resulta negativa. En $[\pi, 2\pi]$, es positiva.

Sumamos los valores absolutos obtenidos en el paso anterior: $$A = |-2| + |2| = 2 + 2 = 4$$ ✅ **Resultado del área:** $$\boxed{A = 4 \text{ u}^2}$$

**b) (1 punto) Hallar el volumen del sólido de revolución que se obtiene al hacer girar la gráfica de $f(x) = -\operatorname{sen} x$ alrededor del eje $OX$ entre las abscisas $x = 0$ y $x = 2\pi$.** La fórmula para calcular el volumen de un sólido generado al girar una función $f(x)$ alrededor del eje $OX$ entre $x=a$ y $x=b$ es: $$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx$$ En nuestro caso: $$V = \pi \int_{0}^{2\pi} (-\operatorname{sen} x)^2 \, dx = \pi \int_{0}^{2\pi} \operatorname{sen}^2 x \, dx$$ 💡 **Tip:** Al elevar al cuadrado, el signo negativo desaparece y siempre obtendremos un volumen positivo.

Para integrar $\operatorname{sen}^2 x$, utilizamos la identidad trigonométrica del ángulo doble: $$\operatorname{sen}^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$$ Sustituimos en la integral: $$V = \pi \int_{0}^{2\pi} \frac{1 - \cos(2x)}{2} \, dx = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{2\pi} (1 - \cos(2x)) \, dx$$ Calculamos la primitiva: $$\int (1 - \cos(2x)) \, dx = x - \frac{\operatorname{sen}(2x)}{2}$$ Ahora aplicamos la Regla de Barrow entre $0$ y $2\pi$: $$V = \frac{\pi}{2} \left[ x - \frac{\operatorname{sen}(2x)}{2} \right]_{0}^{2\pi}$$ Evaluamos en los límites: - Superior ($2\pi$): $2\pi - \frac{\operatorname{sen}(4\pi)}{2} = 2\pi - 0 = 2\pi$ - Inferior ($0$): $0 - \frac{\operatorname{sen}(0)}{2} = 0 - 0 = 0$ Finalmente: $$V = \frac{\pi}{2} (2\pi - 0) = \frac{\pi}{2} \cdot 2\pi = \pi^2$$ ✅ **Resultado del volumen:** $$\boxed{V = \pi^2 \text{ u}^3}$$