Continuidad de una función definida a trozos

**Hallar el valor de $k$ para que $f$ sea continua en $x = 0$. Justificar la respuesta.** Para que la función $f(x)$ sea continua en el punto $x = 0$, se deben cumplir las siguientes tres condiciones: 1. Que exista la imagen de la función en el punto: $f(0)$ debe estar definida. 2. Que exista el límite de la función cuando $x$ tiende a $0$: $\lim_{x \to 0} f(x)$. Para ello, los límites laterales deben ser iguales: $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x)$$ 3. Que el valor del límite coincida con el valor de la imagen: $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$. En este caso, según el enunciado: $$f(0) = k$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en funciones a trozos, el estudio de la continuidad en los puntos de salto entre ramas se reduce a igualar los límites laterales con el valor de la función en dicho punto.

Calculamos el límite cuando $x$ tiende a $0$ por la izquierda ($x \lt 0$), utilizando la primera rama de la función: $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} e^{1/x}$$ Analizamos el exponente: cuando $x \to 0^-$, el valor de $1/x$ tiende a $-\infty$. Por lo tanto: $$\lim_{x \to 0^-} e^{1/x} = e^{-\infty} = 0$$ ✅ **Límite por la izquierda:** $$\boxed{\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0}$$

Calculamos el límite cuando $x$ tiende a $0$ por la derecha ($x \gt 0$), utilizando la tercera rama de la función: $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\cos x - 1}{\operatorname{sen} x}$$ Al evaluar en $x = 0$: $$\frac{\cos(0) - 1}{\operatorname{sen}(0)} = \frac{1 - 1}{0} = \frac{0}{0}$$ Obtenemos una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$. Aplicamos la **Regla de L'Hôpital**, derivando el numerador y el denominador por separado: $$\lim_{x \to 0^+} \frac{\cos x - 1}{\operatorname{sen} x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{(\cos x - 1)'}{(\operatorname{sen} x)'} = \lim_{x \to 0^+} \frac{-\operatorname{sen} x}{\cos x}$$ Evaluamos de nuevo el límite: $$\frac{-\operatorname{sen}(0)}{\cos(0)} = \frac{-0}{1} = 0$$ 💡 **Tip:** La Regla de L'Hôpital dice que si $\lim \frac{f(x)}{g(x)}$ da $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$, el límite es igual a $\lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$ siempre que este último exista. ✅ **Límite por la derecha:** $$\boxed{\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0}$$

Para que exista el límite global en $x = 0$, los límites laterales deben coincidir: $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) \implies 0 = 0$$ Como coinciden, el límite existe y vale $0$. Finalmente, para que la función sea continua, el valor de la función en el punto debe ser igual al límite: $$f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$$ $$k = 0$$ Justificación: Con $k = 0$, se cumple que $f(0) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = 0$, satisfaciendo la definición de continuidad. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{k = 0}$$