Discusión y resolución de un sistema con parámetro

**a) (2 puntos) Discutirlo en función del valor del parámetro $k$.** En primer lugar, escribimos las matrices del sistema. La matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ son: $$A = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 0 \\ -k^3 & k^2 & k \\ 1 & k & 0 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 4 & 0 & 4k \\ -k^3 & k^2 & k & 0 \\ 1 & k & 0 & k^2 \end{array}\right)$$ Calculamos el determinante de $A$ para ver cuándo el rango es máximo. Como la tercera columna tiene dos ceros, desarrollamos por los elementos de dicha columna: $$|A| = \begin{vmatrix} 2 & 4 & 0 \\ -k^3 & k^2 & k \\ 1 & k & 0 \end{vmatrix} = (-1)^{2+3} \cdot k \cdot \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 1 & k \end{vmatrix} = -k(2k - 4) = -2k^2 + 4k$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos de $k$: $$-2k^2 + 4k = 0 \implies -2k(k - 2) = 0 \implies \begin{cases} k = 0 \\ k = 2 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** El desarrollo por una fila o columna con ceros simplifica mucho los cálculos. Recuerda alternar los signos del cofactor $(-1)^{i+j}$.

Analizamos el sistema aplicando el **Teorema de Rouché-Frobenius** para los distintos valores de $k$: * **Caso 1: $k \neq 0$ y $k \neq 2$** En este caso, $|A| \neq 0$. Por tanto, el rango de $A$ es 3, que coincide con el rango de $A^*$ y con el número de incógnitas. **Sistema Compatible Determinado (SCD)**: Tiene una solución única. * **Caso 2: $k = 0$** La matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$$ El rango de $A$ es 2 ya que $\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -4 \neq 0$. Como la fila 2 es nula, el rango de $A^*$ también es 2. Como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 < 3$ (nº incógnitas), el **Sistema es Compatible Indeterminado (SCI)**. * **Caso 3: $k = 2$** La matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 4 & 0 & 8 \\ -8 & 4 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 4 \end{array}\right)$$ Observamos que la fila 1 es el doble de la fila 3 ($F_1 = 2F_3$), tanto en la matriz $A$ como en los términos independientes. Por tanto, podemos eliminar una de ellas. El rango será 2. Como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 < 3$, el **Sistema es Compatible Indeterminado (SCI)**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{cases} k \neq 0, 2: \text{SCD} \\ k = 0: \text{SCI} \\ k = 2: \text{SCI} \end{cases}}$$

**b) (0'5 puntos) Resolver el sistema para $k = 1$.** Como $k=1$ no es ni $0$ ni $2$, estamos ante un **SCD**. Sustituimos $k=1$ en el sistema: $$\begin{cases} 2x + 4y = 4 \\ -x + y + z = 0 \\ x + y = 1 \end{cases}$$ Simplificamos la primera ecuación dividiendo entre 2: $x + 2y = 2$. Ahora tenemos: 1) $x + 2y = 2$ 2) $-x + y + z = 0$ 3) $x + y = 1$ Restamos la ecuación (3) a la (1): $$(x + 2y) - (x + y) = 2 - 1 \implies y = 1$$ Sustituimos $y=1$ en (3): $$x + 1 = 1 \implies x = 0$$ Sustituimos $x=0, y=1$ en (2): $$-0 + 1 + z = 0 \implies z = -1$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = 0, y = 1, z = -1}$$

**c) (0'5 puntos) Resolver el sistema para $k = 2$.** Como vimos en el apartado a), para $k=2$ el sistema es **SCI**. Sustituimos $k=2$: $$\begin{cases} 2x + 4y = 8 \\ -8x + 4y + 2z = 0 \\ x + 2y = 4 \end{cases}$$ La primera y tercera ecuación son equivalentes ($x+2y=4$). Nos quedamos con un sistema de dos ecuaciones: $$\begin{cases} x + 2y = 4 \\ -8x + 4y + 2z = 0 \end{cases}$$ Tomamos $y = \lambda$ como parámetro: 1) $x = 4 - 2\lambda$ Sustituimos en la segunda ecuación para hallar $z$: $$-8(4 - 2\lambda) + 4\lambda + 2z = 0$$ $$-32 + 16\lambda + 4\lambda + 2z = 0$$ $$2z = 32 - 20\lambda \implies z = 16 - 10\lambda$$ 💡 **Tip:** En un SCI con rango 2 y 3 incógnitas, debemos usar un parámetro (normalmente $\lambda$) para expresar las infinitas soluciones. ✅ **Resultado:** $$\boxed{(x, y, z) = (4 - 2\lambda, \lambda, 16 - 10\lambda) \text{ con } \lambda \in \mathbb{R}}$$