Simetría y perpendicularidad en el espacio

**a) (1'5 puntos) Determinar las coordenadas del punto simétrico de $P$ respecto a $r$.** Para hallar el punto simétrico $P'$ de un punto $P$ respecto a una recta $r$, seguiremos estos pasos: 1. Hallar un plano $\pi$ perpendicular a $r$ que pase por $P$. 2. Calcular el punto de intersección $M$ entre la recta $r$ y el plano $\pi$. Este punto $M$ es la proyección ortogonal de $P$ sobre $r$. 3. Utilizar que $M$ es el punto medio del segmento $PP'$ para despejar $P'$. De la ecuación de $r \equiv \dfrac{x - 1}{2} = \dfrac{y + 1}{1} = \dfrac{z}{-1}$, extraemos el vector director $\vec{v}_r$ y un punto $A_r$: $$\vec{v}_r = (2, 1, -1), \quad A_r(1, -1, 0)$$ El plano $\pi$ perpendicular a $r$ tendrá como vector normal $\vec{n}_\pi = \vec{v}_r = (2, 1, -1)$. Su ecuación será: $$2x + y - z + D = 0$$ Como el plano debe pasar por $P(0, 1, 1)$: $$2(0) + 1 - 1 + D = 0 \implies D = 0$$ La ecuación del plano auxiliar es $\pi \equiv 2x + y - z = 0$.

Calculamos la intersección $M = r \cap \pi$. Expresamos la recta $r$ en ecuaciones paramétricas: $$r \equiv \begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = -1 + \lambda \\ z = -\lambda \end{cases}$$ Sustituimos estas expresiones en la ecuación del plano $\pi$: $$2(1 + 2\lambda) + (-1 + \lambda) - (-\lambda) = 0$$ $$2 + 4\lambda - 1 + \lambda + \lambda = 0 \implies 6\lambda + 1 = 0 \implies \lambda = -\frac{1}{6}$$ Sustituyendo el valor de $\lambda$ en las paramétricas de $r$ obtenemos $M$: $$x_M = 1 + 2\left(-\frac{1}{6}\right) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$ $$y_M = -1 + \left(-\frac{1}{6}\right) = -\frac{7}{6}$$ $$z_M = -\left(-\frac{1}{6}\right) = \frac{1}{6}$$ $$\boxed{M\left(\frac{2}{3}, -\frac{7}{6}, \frac{1}{6}\right)}$$

Como $M$ es el punto medio entre $P(0, 1, 1)$ y $P'(x', y', z')$, se cumple: $$M = \frac{P + P'}{2} \implies P' = 2M - P$$ Calculamos las coordenadas de $P'$: $$x' = 2\left(\frac{2}{3}\right) - 0 = \frac{4}{3}$$ $$y' = 2\left(-\frac{7}{6}\right) - 1 = -\frac{7}{3} - 1 = -\frac{10}{3}$$ $$z' = 2\left(\frac{1}{6}\right) - 1 = \frac{1}{3} - 1 = -\frac{2}{3}$$ 💡 **Tip:** El punto simétrico siempre cumple que la distancia $d(P, r) = d(P', r)$ y el vector $\vec{PP'}$ es perpendicular a la recta. ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{P'\left(\frac{4}{3}, -\frac{10}{3}, -\frac{2}{3}\right)}$$

**b) (1'5 puntos) Determinar la recta que pasa por el punto $P$, tiene dirección perpendicular a la recta $r$ y corta a la recta $s$.** Sea $t$ la recta buscada. Sabemos que: 1. Pasa por $P(0, 1, 1)$. 2. Corta a $s \equiv \begin{cases} x = 0 \\ y = 0 \end{cases}$ en un punto $Q$. 3. Su dirección $\vec{v}_t = \vec{PQ}$ es perpendicular a $\vec{v}_r = (2, 1, -1)$. Cualquier punto $Q$ perteneciente a la recta $s$ (que es el eje $Z$) tiene la forma: $$Q(0, 0, \mu)$$ El vector director de la recta $t$ será $\vec{v}_t = \vec{PQ}$: $$\vec{v}_t = Q - P = (0 - 0, 0 - 1, \mu - 1) = (0, -1, \mu - 1)$$

Para que la recta $t$ sea perpendicular a $r$, sus vectores directores deben ser ortogonales, es decir, su producto escalar debe ser cero: $$\vec{v}_t \cdot \vec{v}_r = 0$$ $$(0, -1, \mu - 1) \cdot (2, 1, -1) = 0$$ $$0(2) + (-1)(1) + (\mu - 1)(-1) = 0$$ $$-1 - \mu + 1 = 0 \implies -\mu = 0 \implies \mu = 0$$ Por tanto, el punto de corte con la recta $s$ es $Q(0, 0, 0)$, el origen de coordenadas. 💡 **Tip:** Cuando una recta corta a otra, es muy útil trabajar con el punto genérico de la recta conocida.

Ya tenemos el punto $P(0, 1, 1)$ y el punto $Q(0, 0, 0)$. El vector director es: $$\vec{v}_t = \vec{QP} = (0-0, 1-0, 1-0) = (0, 1, 1)$$ La ecuación paramétrica de la recta $t$ es: $$t \equiv \begin{cases} x = 0 \\ y = \lambda \\ z = \lambda \end{cases}$$ O en forma continua: $$t \equiv \begin{cases} x = 0 \\ y = z \end{cases}$$ ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{t \equiv \begin{cases} x = 0 \\ y = z \end{cases}}$$