Determinante y potencias de una matriz trigonométrica

**a) (0,5 puntos) Calcular el determinante de la matriz $M$.** Para calcular el determinante de la matriz $M$, podemos aplicar la regla de Sarrus o desarrollar por los elementos de una fila o columna. Dado que la tercera fila y la tercera columna tienen dos ceros, lo más sencillo es desarrollar por la tercera fila. $$|M| = \begin{vmatrix} \operatorname{sen} x & \cos x & 0 \\ \cos x & -\operatorname{sen} x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$ Desarrollando por la tercera fila: $$|M| = 0 \cdot A_{31} + 0 \cdot A_{32} + 1 \cdot \begin{vmatrix} \operatorname{sen} x & \cos x \\ \cos x & -\operatorname{sen} x \end{vmatrix}$$ Calculamos el determinante de orden 2 resultante: $$|M| = (\operatorname{sen} x) \cdot (-\operatorname{sen} x) - (\cos x) \cdot (\cos x)$$ $$|M| = -\operatorname{sen}^2 x - \cos^2 x$$ Factorizamos el signo negativo: $$|M| = -(\operatorname{sen}^2 x + \cos^2 x)$$ 💡 **Tip:** Recuerda la identidad fundamental de la trigonometría: $\operatorname{sen}^2 x + \cos^2 x = 1$. Sustituyendo el valor de la identidad: $$|M| = -(1) = -1$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{|M| = -1}$$

**b) (1 punto) Hallar la matriz $M^2$.** Calculamos $M^2$ multiplicando la matriz $M$ por sí misma: $M^2 = M \cdot M$. $$M^2 = \begin{pmatrix} \operatorname{sen} x & \cos x & 0 \\ \cos x & -\operatorname{sen} x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \operatorname{sen} x & \cos x & 0 \\ \cos x & -\operatorname{sen} x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto elemento a elemento: - Elemento $(1,1)$: $(\operatorname{sen} x)(\operatorname{sen} x) + (\cos x)(\cos x) + 0 \cdot 0 = \operatorname{sen}^2 x + \cos^2 x = 1$ - Elemento $(1,2)$: $(\operatorname{sen} x)(\cos x) + (\cos x)(-\operatorname{sen} x) + 0 \cdot 0 = \operatorname{sen} x \cos x - \cos x \operatorname{sen} x = 0$ - Elemento $(1,3)$: $(\operatorname{sen} x) \cdot 0 + (\cos x) \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0$ - Elemento $(2,1)$: $(\cos x)(\operatorname{sen} x) + (-\operatorname{sen} x)(\cos x) + 0 \cdot 0 = \cos x \operatorname{sen} x - \operatorname{sen} x \cos x = 0$ - Elemento $(2,2)$: $(\cos x)(\cos x) + (-\operatorname{sen} x)(-\operatorname{sen} x) + 0 \cdot 0 = \cos^2 x + \operatorname{sen}^2 x = 1$ - Elemento $(2,3)$: $(\cos x) \cdot 0 + (-\operatorname{sen} x) \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0$ - Elemento $(3,1)$: $0 \cdot \operatorname{sen} x + 0 \cdot \cos x + 1 \cdot 0 = 0$ - Elemento $(3,2)$: $0 \cdot \cos x + 0 \cdot (-\operatorname{sen} x) + 1 \cdot 0 = 0$ - Elemento $(3,3)$: $0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 1$ 💡 **Tip:** Al multiplicar matrices, el elemento de la fila $i$ y columna $j$ es el producto escalar de la fila $i$ de la primera matriz por la columna $j$ de la segunda. Por tanto, la matriz resultante es la matriz identidad de orden 3. ✅ **Resultado:** $$\boxed{M^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = I}$$

**c) (0,5 puntos) Hallar la matriz $M^{25}$.** Utilizamos el resultado obtenido en el apartado anterior, donde vimos que $M^2 = I$. A partir de aquí, podemos deducir las potencias sucesivas de $M$: - $M^1 = M$ - $M^2 = I$ - $M^3 = M^2 \cdot M = I \cdot M = M$ - $M^4 = M^2 \cdot M^2 = I \cdot I = I$ - $M^5 = M^4 \cdot M = I \cdot M = M$ Observamos un patrón: - Si el exponente $n$ es par, $M^n = I$. - Si el exponente $n$ es impar, $M^n = M$. Dado que el exponente solicitado es $25$, que es un número **impar**, podemos escribir: $$M^{25} = M^{24} \cdot M = (M^2)^{12} \cdot M = I^{12} \cdot M = I \cdot M = M$$ 💡 **Tip:** Para potencias grandes de matrices, busca siempre si la matriz es involutiva ($M^2=I$) o idempotente ($M^2=M$), o si existe un ciclo de repetición. ✅ **Resultado:** $$\boxed{M^{25} = M = \begin{pmatrix} \operatorname{sen} x & \cos x & 0 \\ \cos x & -\operatorname{sen} x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}$$