Rango de una matriz con parámetros

La matriz $A$ tiene dimensiones $4 \times 3$ (4 filas y 3 columnas). El rango de una matriz es el número de filas o columnas linealmente independientes, y no puede superar el menor de sus dimensiones. Por tanto: $$\text{rg}(A) \le \min(4, 3) = 3$$ Para determinar si el rango es 3, buscaremos si existe algún menor (determinante de una submatriz cuadrada) de orden 3 que sea distinto de cero. 💡 **Tip:** Recuerda que si encontramos al menos un determinante de orden $k$ distinto de cero, el rango es al menos $k$.

Consideramos el menor formado por las tres primeras filas de la matriz $A$: $$M_1 = \begin{vmatrix} 1 & 3 & -2 \\ -1 & 1 & a \\ 2 & 0 & -a \end{vmatrix}$$ Calculamos su valor utilizando la regla de Sarrus: $$|M_1| = [1 \cdot 1 \cdot (-a) + 3 \cdot a \cdot 2 + (-2) \cdot (-1) \cdot 0] - [2 \cdot 1 \cdot (-2) + 0 \cdot a \cdot 1 + (-a) \cdot (-1) \cdot 3]$$ $$|M_1| = [-a + 6a + 0] - [-4 + 0 + 3a]$$ $$|M_1| = 5a - (3a - 4) = 5a - 3a + 4 = 2a + 4$$ Igualamos el resultado a cero para estudiar los valores críticos de $a$: $$2a + 4 = 0 \implies 2a = -4 \implies a = -2$$ $$\boxed{|M_1| = 2a + 4}$$

Si el parámetro $a$ toma cualquier valor distinto de $-2$ ($a \neq -2$), entonces el determinante del menor $M_1$ es distinto de cero ($|M_1| \neq 0$). Como existe un menor de orden 3 no nulo, el rango de la matriz es exactamente 3. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{\text{Si } a \neq -2, \text{ rg}(A) = 3}$$

Si $a = -2$, el determinante $M_1$ es igual a cero. Para saber si el rango es menor que 3, debemos comprobar si los demás menores de orden 3 posibles también son cero. Sustituimos $a = -2$ en la matriz original: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 \\ -1 & 1 & -2 \\ 2 & 0 & 2 \\ 0 \text{ (pues } -2+2) & 0 & -2 \end{pmatrix}$$ Tomamos, por ejemplo, el menor formado por las filas 1, 3 y 4: $$M_2 = \begin{vmatrix} 1 & 3 & -2 \\ 2 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & -2 \end{vmatrix}$$ Para facilitar el cálculo, desarrollamos por los elementos de la segunda columna (que contiene dos ceros): $$|M_2| = -3 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} + 0 - 0$$ $$|M_2| = -3 \cdot (2 \cdot (-2) - 0 \cdot 2) = -3 \cdot (-4) = 12$$ Como $|M_2| = 12 \neq 0$, existe un menor de orden 3 no nulo incluso cuando $a = -2$. 💡 **Tip:** Al desarrollar por una columna, el signo del elemento $a_{ij}$ se determina por $(-1)^{i+j}$. Para el elemento $a_{12}=3$, el signo es $(-1)^{1+2} = -1$.

Tras analizar todos los casos: 1. Si $a \neq -2$, hemos encontrado un menor de orden 3 no nulo ($M_1$), por lo que $\text{rg}(A) = 3$. 2. Si $a = -2$, aunque $M_1 = 0$, hemos encontrado otro menor de orden 3 no nulo ($M_2$), por lo que $\text{rg}(A) = 3$. Dado que para cualquier valor real de $a$ siempre existe al menos un menor de orden 3 cuyo determinante no es cero, concluimos que el rango de la matriz es constante. ✅ **Solución final:** $$\boxed{\text{rg}(A) = 3 \text{ para cualquier valor de } a \in \mathbb{R}}$$