Límites, integración y estudio de dominio y derivabilidad

**a) (1 punto) Calcular los límites: $\lim_{x\to+\infty} \frac{2}{4 + e^{-(x+1)}}$ y $\lim_{x\to-\infty} \frac{2}{4 + e^{-(x+1)}}$.** Analizamos primero el comportamiento de la función cuando $x$ tiende a $+\infty$. Observamos el exponente de la base $e$: Si $x \to +\infty$, entonces $-(x+1) \to -\infty$. Sabemos que $\lim_{u\to-\infty} e^u = 0$. Por tanto: $$\lim_{x\to+\infty} \frac{2}{4 + e^{-(x+1)}} = \frac{2}{4 + 0} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}.$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $e^{-\infty}$ es una forma simbólica de expresar que la función exponencial con exponente negativo muy grande tiende a $0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\lim_{x\to+\infty} \frac{2}{4 + e^{-(x+1)}} = \frac{1}{2}}$$

Ahora analizamos el comportamiento cuando $x$ tiende a $-\infty$. En este caso: Si $x \to -\infty$, entonces $-(x+1) \to -(-\infty) = +\infty$. Sabemos que $\lim_{u\to+\infty} e^u = +\infty$. Al sustituir en el límite: $$\lim_{x\to-\infty} \frac{2}{4 + e^{-(x+1)}} = \frac{2}{4 + (+\infty)} = \frac{2}{+\infty} = 0.$$ Como el denominador crece indefinidamente, la fracción tiende a cero. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\lim_{x\to-\infty} \frac{2}{4 + e^{-(x+1)}} = 0}$$

**b) (1 punto) Calcular la integral $\int_{0}^{1} \frac{x}{1 + 3x^2} dx$.** Observamos que el numerador es casi la derivada del denominador. La derivada de $1 + 3x^2$ es $6x$. Para obtener una integral de tipo logarítmico $\int \frac{u'(x)}{u(x)} dx = \ln|u(x)|$, ajustamos la constante multiplicando y dividiendo por $6$: $$\int \frac{x}{1 + 3x^2} dx = \frac{1}{6} \int \frac{6x}{1 + 3x^2} dx = \frac{1}{6} \ln|1 + 3x^2| + C.$$ Como $1 + 3x^2$ siempre es positivo para cualquier $x$ real, podemos prescindir del valor absoluto. 💡 **Tip:** Siempre que tengas un cociente donde el numerador es de un grado menor que el denominador, comprueba si puedes transformarlo en una integral logarítmica.

Aplicamos los límites de integración de $0$ a $1$ sobre la primitiva hallada: $$\int_{0}^{1} \frac{x}{1 + 3x^2} dx = \left[ \frac{1}{6} \ln(1 + 3x^2) \right]_{0}^{1}$$ Calculamos los valores: 1. Para $x=1$: $\frac{1}{6} \ln(1 + 3(1)^2) = \frac{1}{6} \ln(4)$. 2. Para $x=0$: $\frac{1}{6} \ln(1 + 3(0)^2) = \frac{1}{6} \ln(1) = 0$. Restamos ambos valores: $$\frac{1}{6} \ln(4) - 0 = \frac{1}{6} \ln(2^2) = \frac{2}{6} \ln(2) = \frac{1}{3} \ln(2).$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\int_{0}^{1} \frac{x}{1 + 3x^2} dx = \frac{1}{3} \ln(2)}$$

**c) (1 punto) Hallar el dominio de definición de la función $f(x) = \sqrt{x^2 - 9x + 14}$. Hallar el conjunto de puntos en los que la función $f$ tiene derivada.** El dominio de una función raíz cuadrada está formado por los puntos donde el radicando es mayor o igual a cero: $$x^2 - 9x + 14 \ge 0.$$ Primero, hallamos las raíces de la ecuación de segundo grado $x^2 - 9x + 14 = 0$: $$x = \frac{9 \pm \sqrt{(-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2} = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2} = \frac{9 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{9 \pm 5}{2}$$ Las raíces son $x_1 = \frac{14}{2} = 7$ y $x_2 = \frac{4}{2} = 2$. Analizamos el signo del polinomio en los intervalos definidos por las raíces: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 2) & 2 & (2, 7) & 7 & (7, +\infty)\\ \hline x^2-9x+14 & + & 0 & - & 0 & + \end{array}$$ Por tanto, el dominio es el conjunto de puntos donde el valor es no negativo: ✅ **Resultado (Dominio):** $$\boxed{\text{Dom}(f) = (-\infty, 2] \cup [7, +\infty)}$$

Para hallar dónde existe la derivada, calculamos $f'(x)$ usando la regla de la cadena: $$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 9x + 14}} \cdot (2x - 9) = \frac{2x - 9}{2\sqrt{x^2 - 9x + 14}}.$$ La función derivada $f'(x)$ existe siempre que el denominador no se anule y la expresión bajo la raíz sea positiva. Esto ocurre cuando el radicando es estrictamente mayor que cero: $$x^2 - 9x + 14 \gt 0.$$ Como ya hemos visto, esto sucede en los intervalos abiertos. En los puntos $x=2$ y $x=7$, el denominador de la derivada se hace cero, por lo que la función no es derivable en ellos (la pendiente de la tangente sería infinita). 💡 **Tip:** Una función radical $f(x) = \sqrt{u(x)}$ suele ser derivable en el conjunto de puntos donde $u(x) > 0$. ✅ **Resultado (Derivabilidad):** $$\boxed{\text{Derivable en: } (-\infty, 2) \cup (7, +\infty)}$$