Área de un recinto entre parábola y recta

**a) Dibuje un esquema del recinto. (0.75 puntos)** Para representar el recinto, analizamos las dos funciones dadas: 1. **La parábola $x = y^2 + 1$**: Es una parábola con eje horizontal (abre hacia la derecha). Su vértice está en el punto $(1, 0)$, ya que si $y=0$, $x=1$. Es simétrica respecto al eje $OX$. 2. **La recta $x = 3$**: Es una recta vertical que corta al eje $OX$ en el punto $(3, 0)$. Podemos calcular algunos puntos de la parábola para facilitar el dibujo: - Si $y = 1 \implies x = 1^2 + 1 = 2 \implies (2, 1)$ - Si $y = -1 \implies x = (-1)^2 + 1 = 2 \implies (2, -1)$ - Si $y = \sqrt{2} \implies x = 2 + 1 = 3 \implies (3, \sqrt{2})$ El recinto es la región comprendida entre la curva y la recta vertical.

**b) Calcule su área. (1.75 puntos)** Para calcular el área, primero necesitamos encontrar los puntos de intersección entre la parábola y la recta para establecer los límites de integración. Igualamos ambas expresiones de $x$: $$y^2 + 1 = 3$$ $$y^2 = 3 - 1$$ $$y^2 = 2 \implies y = \pm\sqrt{2}$$ Los puntos de corte son $(3, \sqrt{2})$ y $(3, -\sqrt{2})$. Por tanto, integraremos respecto a la variable $y$ desde $-\sqrt{2}$ hasta $\sqrt{2}$. 💡 **Tip:** Cuando una región está limitada por funciones del tipo $x = g(y)$, suele ser más sencillo integrar respecto a $y$ usando la fórmula: $A = \int_{c}^{d} [x_{\text{derecha}} - x_{\text{izquierda}}] \, dy$. $$\boxed{y_1 = -\sqrt{2}, \quad y_2 = \sqrt{2}}$$

El área $A$ se define como la integral de la diferencia entre la función que está a la derecha ($x=3$) y la que está a la izquierda ($x=y^2+1$): $$A = \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \left( 3 - (y^2 + 1) \right) \, dy$$ Simplificamos la expresión dentro de la integral: $$A = \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (2 - y^2) \, dy$$ Debido a la simetría de la figura respecto al eje $OX$, podemos calcular el área de la mitad superior (desde $y=0$ hasta $y=\sqrt{2}$) y multiplicar por $2$: $$A = 2 \cdot \int_{0}^{\sqrt{2}} (2 - y^2) \, dy$$ 💡 **Tip:** Aprovechar la simetría simplifica los cálculos de la Regla de Barrow al introducir el cero como límite inferior. $$\boxed{A = 2 \int_{0}^{\sqrt{2}} (2 - y^2) \, dy}$$

Calculamos la primitiva de la función: $$\int (2 - y^2) \, dy = 2y - \frac{y^3}{3}$$ Aplicamos la **Regla de Barrow** en el intervalo $[0, \sqrt{2}]$: $$A = 2 \left[ 2y - \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{\sqrt{2}}$$ Evaluamos en los límites: $$A = 2 \left( \left( 2\sqrt{2} - \frac{(\sqrt{2})^3}{3} \right) - (0) \right)$$ Como $(\sqrt{2})^3 = 2\sqrt{2}$: $$A = 2 \left( 2\sqrt{2} - \frac{2\sqrt{2}}{3} \right)$$ Realizamos la resta de fracciones: $$A = 2 \left( \frac{6\sqrt{2} - 2\sqrt{2}}{3} \right) = 2 \left( \frac{4\sqrt{2}}{3} \right) = \frac{8\sqrt{2}}{3}$$ 💡 **Tip:** No olvides expresar el resultado final en unidades cuadradas ($u^2$).

El valor exacto del área es: $$A = \frac{8\sqrt{2}}{3} \approx 3.77 \text{ unidades cuadradas}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A = \frac{8\sqrt{2}}{3} \text{ u}^2}$$