Derivabilidad de una función a trozos con parámetros

**Determine los valores de $a$ y $b$ para que la función sea derivable en todo su dominio. (2.5 puntos).** Para que una función sea derivable en un punto, primero debe ser continua en dicho punto. El dominio de las funciones que forman las ramas es $\mathbb{R}$ para la primera y $(0, +\infty)$ para la segunda, por lo que el único punto problemático es el salto entre ramas en $x=1$. Calculamos los límites laterales y el valor de la función en $x=1$: 1. **Valor de la función:** $f(1) = a\sqrt{1} + \frac{b}{1} = a + b$ 2. **Límite por la izquierda ($x \to 1^-$):** $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1} (7 + ax) = 7 + a$$ 3. **Límite por la derecha ($x \to 1^+$):** $$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1} \left(a\sqrt{x} + \frac{b}{x}\right) = a + b$$ Para que sea continua, los límites deben coincidir: $$7 + a = a + b \implies 7 = b$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivabilidad implica continuidad, pero la continuidad no siempre implica derivabilidad. Siempre empezamos asegurando que no haya un salto en la gráfica. $$\boxed{b = 7}$$

Una vez garantizada la continuidad con $b=7$, derivamos las ramas de la función para estudiar la derivabilidad en $x=1$. Para $x \lt 1$: $$f'(x) = (7 + ax)' = a$$ Para $x \gt 1$ (usando la regla de la cadena para la raíz y la derivada de una potencia para $\frac{1}{x}$): $$f'(x) = \left(a\sqrt{x} + \frac{b}{x}\right)' = a \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{b}{x^2}$$ La función derivada (para $x \neq 1$) queda expresada como: $$f'(x) = \begin{cases} a & \text{si } x \lt 1 \\ \frac{a}{2\sqrt{x}} - \frac{7}{x^2} & \text{si } x \gt 1 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Para derivar $\frac{b}{x}$, es más sencillo verla como $b \cdot x^{-1}$, cuya derivada es $-1 \cdot b \cdot x^{-2} = -\frac{b}{x^2}$.

Para que la función sea derivable en $x=1$, las derivadas laterales deben existir y ser iguales: 1. **Derivada lateral izquierda:** $$f'(1^-) = \lim_{x \to 1^-} a = a$$ 2. **Derivada lateral derecha:** $$f'(1^+) = \lim_{x \to 1^+} \left(\frac{a}{2\sqrt{x}} - \frac{7}{x^2}\right) = \frac{a}{2\sqrt{1}} - \frac{7}{1^2} = \frac{a}{2} - 7$$ Igualamos ambas expresiones para obtener $a$: $$a = \frac{a}{2} - 7$$ Multiplicamos toda la ecuación por $2$ para eliminar el denominador: $$2a = a - 14 \implies 2a - a = -14 \implies a = -14$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = -14, \quad b = 7}$$ Con estos valores, la función es continua y derivable en $x=1$ y, por tanto, en todo su dominio $(0, +\infty)$.