Ecuaciones de la recta y plano perpendicular en el espacio

**a) Halle las ecuaciones implícitas de la recta $r$ que pasa por $A$ y $B$. (1.25 puntos)** Para determinar la ecuación de una recta, necesitamos un punto y un vector director. Utilizaremos el punto $A(0, -1, 2)$ y el vector director $\vec{v_r}$ que une los puntos $A$ y $B$: $$\vec{v_r} = \vec{AB} = B - A = (2 - 0, 2 - (-1), 3 - 2) = (2, 3, 1)$$ 💡 **Tip:** El vector director de una recta que pasa por dos puntos $P$ y $Q$ se obtiene restando las coordenadas de los puntos: $\vec{v} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)$. $$\boxed{\vec{v_r} = (2, 3, 1)}$$

A partir del punto $A(0, -1, 2)$ y el vector $\vec{v_r}(2, 3, 1)$, escribimos primero la ecuación en forma continua: $$\frac{x - 0}{2} = \frac{y - (-1)}{3} = \frac{z - 2}{1} \implies \frac{x}{2} = \frac{y + 1}{3} = z - 2$$ Para obtener las ecuaciones implícitas (o cartesianas), igualamos las fracciones de dos en dos: 1. De $\dfrac{x}{2} = \dfrac{y + 1}{3}$: $$3x = 2(y + 1) \implies 3x = 2y + 2 \implies 3x - 2y - 2 = 0$$ 2. De $\dfrac{y + 1}{3} = z - 2$: $$y + 1 = 3(z - 2) \implies y + 1 = 3z - 6 \implies y - 3z + 7 = 0$$ 💡 **Tip:** Una recta en el espacio se puede expresar como la intersección de dos planos. Las ecuaciones implícitas tienen la forma $\begin{cases} Ax + By + Cz + D = 0 \\ A'x + B'y + C'z + D' = 0 \end{cases}$. ✅ **Resultado (Ecuaciones implícitas):** $$\boxed{r \equiv \begin{cases} 3x - 2y - 2 = 0 \\ y - 3z + 7 = 0 \end{cases}}$$

**b) Dé la ecuación de un plano perpendicular a $r$ pasando por $A$. (1.25 puntos)** Si un plano $\pi$ es perpendicular a una recta $r$, el vector director de la recta $\vec{v_r}$ es paralelo al vector normal del plano $\vec{n_\pi}$. Por lo tanto, podemos tomar: $$\vec{n_\pi} = \vec{v_r} = (2, 3, 1)$$ La ecuación general de un plano es $Ax + By + Cz + D = 0$, donde $(A, B, C)$ son las componentes del vector normal. Sustituyendo el vector normal: $$2x + 3y + z + D = 0$$ 💡 **Tip:** Dos elementos (recta y plano) son perpendiculares si el vector director de la recta y el vector normal del plano tienen la misma dirección.

Como el plano debe pasar por el punto $A(0, -1, 2)$, sustituimos sus coordenadas en la ecuación anterior para hallar $D$: $$2(0) + 3(-1) + (2) + D = 0$$ $$0 - 3 + 2 + D = 0$$ $$-1 + D = 0 \implies D = 1$$ Por lo tanto, la ecuación del plano es: $$2x + 3y + z + 1 = 0$$ ✅ **Resultado (Ecuación del plano):** $$\boxed{2x + 3y + z + 1 = 0}$$