Discusión y resolución de un sistema con parámetros

**a) Estudie su compatibilidad según los valores de $a$. (1.5 puntos)** Para estudiar la compatibilidad del sistema, utilizaremos el **Teorema de Rouché-Capelli**. En primer lugar, escribimos la matriz de coeficientes ($A$) y la matriz ampliada ($A^*$): $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & a \\ 1 & a & 1 & a \\ 1 & 1 & a & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Rouché-Capelli nos dice que si el rango de la matriz de coeficientes es igual al de la ampliada, el sistema tiene solución (es compatible).

Calculamos el determinante de la matriz $A$ para ver cuándo su rango es máximo (rango 3): $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{vmatrix}$$ Aplicamos la regla de Sarrus: $$|A| = (1 \cdot a \cdot a) + (1 \cdot 1 \cdot 1) + (1 \cdot 1 \cdot 1) - [(1 \cdot a \cdot 1) + (1 \cdot 1 \cdot a) + (1 \cdot 1 \cdot 1)]$$ $$|A| = a^2 + 1 + 1 - (a + a + 1)$$ $$|A| = a^2 + 2 - 2a - 1 = a^2 - 2a + 1$$ Factorizamos la expresión (es un producto notable): $$|A| = (a - 1)^2$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$(a - 1)^2 = 0 \implies a = 1$$ $$\boxed{|A| = 0 \iff a = 1}$$

Analizamos los dos casos posibles según el valor de $a$: **Caso 1: $a \neq 1$** Si $a \neq 1$, entonces $|A| \neq 0$. Esto implica que el rango de la matriz de coeficientes es igual al número de incógnitas: $$\text{rg}(A) = 3 = \text{rg}(A^*) = n \text{ (nº incógnitas)}$$ Según el Teorema de Rouché-Capelli, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**, es decir, tiene una solución única. **Caso 2: $a = 1$** Si $a = 1$, sustituimos en las matrices: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ En este caso, todas las filas de $A$ y de $A^*$ son idénticas. Por tanto: $$\text{rg}(A) = 1 = \text{rg}(A^*) < 3$$ Según el Teorema de Rouché-Capelli, el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**, es decir, tiene infinitas soluciones. ✅ **Resultado (Discusión):** $$\boxed{\begin{cases} a \neq 1: \text{ Sistema Compatible Determinado} \\ a = 1: \text{ Sistema Compatible Indeterminado} \end{cases}}$$

**b) Resuélvalo cuando el sistema sea compatible indeterminado. (1 punto)** Como hemos visto en el apartado anterior, el sistema es compatible indeterminado cuando **$a = 1$**. Sustituyendo $a=1$, las tres ecuaciones del sistema se convierten en la misma: $$x + y + z = 1$$ Para resolverlo, al tener rango 1 y 3 incógnitas, necesitamos usar $3 - 1 = 2$ parámetros. Sean $y = \lambda$ y $z = \mu$, con $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$. Despejamos $x$ en función de los parámetros: $$x = 1 - \lambda - \mu$$ 💡 **Tip:** Un sistema con una única ecuación y tres incógnitas representa un plano en el espacio. Las infinitas soluciones son los puntos de ese plano. ✅ **Resultado (Solución):** $$\boxed{\begin{cases} x = 1 - \lambda - \mu \\ y = \lambda \\ z = \mu \end{cases} \forall \lambda, \mu \in \mathbb{R}}$$