Función a trozos: representación y cálculo de área

**a) Dibuje la gráfica de la función. (1 punto)** Analizamos por separado las dos ramas de la función $f(x)$: 1. **Rama lineal** ($x \le 0$): $f(x) = 2x + 4$. Es una recta con pendiente $m = 2$ y ordenada en el origen $4$. Corta al eje de abscisas ($y=0$) en $2x + 4 = 0 \implies x = -2$. 2. **Rama parabólica** ($x \gt 0$): $f(x) = (x-2)^2$. Es una parábola con vértice en $(2, 0)$, que abre hacia arriba. Estudiamos el salto entre ramas en $x = 0$: - Límite por la izquierda: $\lim_{x \to 0^-} (2x+4) = 4$. - Límite por la derecha: $\lim_{x \to 0^+} (x-2)^2 = (-2)^2 = 4$. Como ambos límites coinciden con $f(0) = 4$, la función es continua en $x = 0$, por lo que no hay salto entre los intervalos. 💡 **Tip:** Para representar parábolas de la forma $f(x) = (x-a)^2$, recuerda que el vértice se sitúa directamente en el punto $(a, 0)$.

Utilizando los puntos clave obtenidos: - Recta: pasa por $(-2, 0)$ y $(0, 4)$. - Parábola: nace en $(0, 4)$, tiene su vértice en $(2, 0)$ y vuelve a subir (por ejemplo, pasa por $(4, 4)$). Obtenemos la siguiente representación:

**b) Halle el área del recinto limitado por la gráfica de $f$ y el eje de abscisas. (1.5 puntos)** El recinto está limitado superiormente por la gráfica de $f(x)$ e inferiormente por el eje de abscisas ($y = 0$). Necesitamos los puntos donde la función corta al eje $X$: - En la primera rama ($x \le 0$): $2x + 4 = 0 \implies x = -2$. - En la segunda rama ($x \gt 0$): $(x-2)^2 = 0 \implies x = 2$. Por tanto, el área se extiende desde $x = -2$ hasta $x = 2$. Como la función cambia de expresión en $x = 0$, debemos dividir la integral en dos partes: $$A = \int_{-2}^{0} (2x+4) \, dx + \int_{0}^{2} (x-2)^2 \, dx$$ 💡 **Tip:** Siempre que la función cambie de definición dentro del intervalo de integración, debes descomponer la integral en la suma de las integrales de cada tramo.

Calculamos la integral del primer tramo aplicando la regla de Barrow: $$\int_{-2}^{0} (2x+4) \, dx = \left[ x^2 + 4x \right]_{-2}^{0}$$ Evaluamos en los límites: - Superior: $(0)^2 + 4(0) = 0$ - Inferior: $(-2)^2 + 4(-2) = 4 - 8 = -4$ Resultado del primer tramo: $$0 - (-4) = 4 \text{ u}^2$$ 💡 **Tip:** Geométricamente, este área es un triángulo de base $2$ y altura $4$, por lo que $A = \frac{2 \cdot 4}{2} = 4$. Es una buena forma de comprobar el resultado.

Calculamos la integral del segundo tramo. Primero desarrollamos el binomio $(x-2)^2 = x^2 - 4x + 4$ (o integramos como función compuesta): $$\int_{0}^{2} (x-2)^2 \, dx = \left[ \frac{(x-2)^3}{3} \right]_{0}^{2}$$ Evaluamos en los límites: - Superior: $\frac{(2-2)^3}{3} = 0$ - Inferior: $\frac{(0-2)^3}{3} = \frac{-8}{3}$ Resultado del segundo tramo: $$0 - \left( -\frac{8}{3} \right) = \frac{8}{3} \text{ u}^2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la primitiva de $(x+a)^n$ es $\frac{(x+a)^{n+1}}{n+1}$ siempre que la derivada de la base sea $1$.

Sumamos los dos recintos calculados anteriormente para obtener el área total: $$A = 4 + \frac{8}{3} = \frac{12}{3} + \frac{8}{3} = \frac{20}{3}$$ El área total es aproximadamente **$6.67 \text{ u}^2$**. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{20}{3} \text{ u}^2}$$