Posición relativa e intersección entre recta y plano

**a) Halle su posición relativa. (1 punto)** Para estudiar la posición relativa entre una recta $r$ y un plano $\pi$, primero extraemos sus elementos vectoriales y un punto de la recta: 1. **Recta $r$**: La ecuación está dada en forma continua $\frac{x-x_0}{v_x} = \frac{y-y_0}{v_y} = \frac{z-z_0}{v_z}$. - Punto de la recta: $P_r = (-2, 1, 0)$ - Vector director: $\vec{v_r} = (1, 4, 3)$ 2. **Plano $\pi$**: La ecuación es general $Ax + By + Cz + D = 0$. - Vector normal al plano: $\vec{n_\pi} = (1, 5, -3)$ 💡 **Tip:** Recuerda que el vector normal de un plano $Ax+By+Cz=D$ está formado por los coeficientes $(A, B, C)$.

Analizamos el producto escalar entre el vector director de la recta $\vec{v_r}$ y el vector normal del plano $\vec{n_\pi}$: $$\vec{v_r} \cdot \vec{n_\pi} = (1, 4, 3) \cdot (1, 5, -3) = 1(1) + 4(5) + 3(-3) = 1 + 20 - 9 = 12.$$ Como el producto escalar es **distinto de cero** ($\vec{v_r} \cdot \vec{n_\pi} \neq 0$), significa que el vector director de la recta no es perpendicular al vector normal del plano. Por lo tanto, la recta **no es paralela** al plano ni está contenida en él. Conclusión: La recta y el plano son **secantes**, es decir, se cortan en un único punto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La recta } r \text{ y el plano } \pi \text{ son secantes (se cortan en un punto)}}.$$

**b) En caso de cortarse, halle el corte. (1.5 puntos)** Para hallar el punto de intersección de forma sencilla, expresamos la recta $r$ en ecuaciones paramétricas utilizando el punto $P_r(-2, 1, 0)$ y el vector $\vec{v_r}(1, 4, 3)$: $$r: \begin{cases} x = -2 + \lambda \\ y = 1 + 4\lambda \\ z = 3\lambda \end{cases}$$ Cualquier punto de la recta tendrá esa forma para un valor de $\lambda$ determinado. 💡 **Tip:** Pasar a paramétricas es el método más directo para hallar intersecciones con planos.

El punto de corte debe pertenecer también al plano $\pi: x + 5y - 3z = 15$. Sustituimos las expresiones de $x, y, z$ de la recta en la ecuación del plano: $$(-2 + \lambda) + 5(1 + 4\lambda) - 3(3\lambda) = 15$$ Ahora, resolvemos para hallar el valor del parámetro $\lambda$: $$-2 + \lambda + 5 + 20\lambda - 9\lambda = 15$$ $$12\lambda + 3 = 15$$ $$12\lambda = 15 - 3$$ $$12\lambda = 12 \implies \lambda = 1$$ 💡 **Tip:** Si al resolver esta ecuación obtuviéramos una identidad como $0=0$, la recta estaría contenida en el plano. Si fuera una contradicción como $0=5$, serían paralelos.

Una vez hallado $\lambda = 1$, sustituimos este valor en las ecuaciones paramétricas de la recta $r$ para obtener las coordenadas del punto de corte $P$: $$x = -2 + (1) = -1$$ $$y = 1 + 4(1) = 5$$ $$z = 3(1) = 3$$ Por tanto, el punto de intersección es $P(-1, 5, 3)$. Podemos comprobar sustituyendo en el plano: $(-1) + 5(5) - 3(3) = -1 + 25 - 9 = 15$. ¡Es correcto! ✅ **Resultado final:** $$\boxed{P(-1, 5, 3)}$$