Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones lineales con un parámetro

**a) Estudie su compatibilidad según los valores de $a$. (1.5 puntos)** Para estudiar la compatibilidad del sistema, utilizaremos el **teorema de Rouché-Frobenius**. Primero, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & a & -1 \\ 1 & 1 & -a \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & a & -1 & 1+a \\ 1 & 1 & -a & 2 \\ 1 & -1 & -1 & a \end{array}\right)$$ Calculamos el determinante de la matriz $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & a & -1 \\ 1 & 1 & -a \\ 1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = [1 \cdot 1 \cdot (-1) + a \cdot (-a) \cdot 1 + (-1) \cdot 1 \cdot (-1)] - [(-1) \cdot 1 \cdot 1 + a \cdot 1 \cdot (-1) + 1 \cdot (-a) \cdot (-1)]$$ $$|A| = [-1 - a^2 + 1] - [-1 - a + a] = -a^2 - (-1) = 1 - a^2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que el sistema tenga solución única, el determinante de la matriz de coeficientes debe ser distinto de cero.

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores de $a$ que cambian el rango de la matriz: $$|A| = 0 \implies 1 - a^2 = 0 \implies a^2 = 1 \implies a = \pm 1$$ Esto nos divide el estudio en tres casos: 1. Si $a \neq 1$ y $a \neq -1$ 2. Si $a = 1$ 3. Si $a = -1$

Si $a \neq 1$ y $a \neq -1$, entonces $|A| \neq 0$. Esto implica que el rango de la matriz de coeficientes es $\text{rg}(A) = 3$. Como el número de incógnitas es 3 y el rango de la matriz ampliada no puede ser mayor que 3 ni menor que $\text{rg}(A)$, tenemos: $$\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 3 = \text{nº de incógnitas}$$ Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**, es decir, tiene una solución única. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{\text{Si } a \neq 1, -1 \implies \text{Sistema Compatible Determinado}}$$

Si $a = 1$, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & -1 & 2 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{array}\right)$$ Observamos que las filas 1 y 2 son idénticas ($F_1 = F_2$). Por tanto, el rango de $A$ y de $A^*$ será el mismo. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero en $A$: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -1 - 1 = -2 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Como la fila 2 es redundante en la matriz ampliada, el rango de $A^*$ también es 2: $$\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 < 3 \text{ (nº de incógnitas)}$$ Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**, con $3 - 2 = 1$ grado de libertad (un parámetro). ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{\text{Si } a = 1 \implies \text{Sistema Compatible Indeterminado}}$$

Si $a = -1$, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & -1 & -1 \end{array}\right)$$ En la matriz $A$, el menor $\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 2 \neq 0$, por lo que $\text{rg}(A) = 2$. Ahora estudiamos el rango de $A^*$. Si observamos la fila 1 ($x - y - z = 0$) y la fila 3 ($x - y - z = -1$), vemos que son **ecuaciones contradictorias** (planos paralelos distintos). Calculamos un menor de orden 3 de la matriz ampliada usando la columna 1, 2 y 4: $$\begin{vmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = (-1 - 2 + 0) - (0 - 2 + 1) = -3 - (-1) = -2 \neq 0 \implies \text{rg}(A^*) = 3$$ Como $\text{rg}(A) = 2 \neq \text{rg}(A^*) = 3$, según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Incompatible (SI)**. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{\text{Si } a = -1 \implies \text{Sistema Incompatible}}$$

**b) Resuélvalo cuando el sistema sea compatible indeterminado. (1 punto)** El sistema es SCI cuando $a = 1$. En este caso, el sistema original se reduce eliminando la fila repetida: $$\begin{cases} x + y - z = 2 \\ x - y - z = 1 \end{cases}$$ Como el rango es 2, tomamos $z = \lambda$ como parámetro libre (donde $\lambda \in \mathbb{R}$): $$\begin{cases} x + y = 2 + \lambda \\ x - y = 1 + \lambda \end{cases}$$ Sumamos las dos ecuaciones para eliminar $y$: $$(x + y) + (x - y) = (2 + \lambda) + (1 + \lambda) \implies 2x = 3 + 2\lambda \implies x = \frac{3}{2} + \lambda$$ Restamos las ecuaciones para eliminar $x$: $$(x + y) - (x - y) = (2 + \lambda) - (1 + \lambda) \implies 2y = 1 \implies y = \frac{1}{2}$$ 💡 **Tip:** Siempre indica que el parámetro $\lambda$ pertenece al conjunto de los números reales. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{(x, y, z) = \left( \frac{3}{2} + \lambda, \frac{1}{2}, \lambda \right) \text{ con } \lambda \in \mathbb{R}}$$