Continuidad y cálculo de áreas con funciones a trozos

**a) Calcule $m$ y $n$ para que $f$ sea continua en todo su dominio. (1 punto)** Para que la función $f(x)$ sea continua en todo su dominio ($\mathbb{R}$), debe ser continua en los puntos donde cambia la definición de sus ramas, es decir, en $x = 0$ y $x = 1$. Las funciones que componen cada rama ($x^2$, $mx+n$ y $2$) son polinómicas y constantes, por lo que ya son continuas en sus respectivos intervalos abiertos. 💡 **Tip:** Recuerda que para que una función sea continua en $x = a$, se debe cumplir: 1. Existe $f(a)$. 2. Existe $\lim_{x \to a} f(x)$, lo que implica que $\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x)$. 3. $f(a) = \lim_{x \to a} f(x)$.

Estudiamos el límite por la izquierda, por la derecha y el valor de la función en $x = 0$: - $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0} x^2 = 0^2 = 0$ - $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0} (mx + n) = m(0) + n = n$ - $f(0) = m(0) + n = n$ Para que sea continua en $x = 0$, los límites laterales deben ser iguales: $$0 = n$$ $$\boxed{n = 0}$$

Estudiamos el límite por la izquierda, por la derecha y el valor de la función en $x = 1$: - $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1} (mx + n) = m(1) + n = m + n$ - $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1} 2 = 2$ - $f(1) = 2$ Para que sea continua en $x = 1$, igualamos los límites: $$m + n = 2$$ Sustituyendo el valor hallado $n = 0$: $$m + 0 = 2 \implies m = 2$$ Por tanto, la función continua resultante es: $$f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{si } x \lt 0 \\ 2x & \text{si } 0 \le x \lt 1 \\ 2 & \text{si } 1 \le x \end{cases}$$ $$\boxed{m = 2, \; n = 0}$$

**b) Para esos valores hallados calcule el área del recinto limitado por la gráfica de $f$ y la recta $y = 1$ (1.5 puntos)** Primero, buscamos los puntos de corte entre $f(x)$ y la recta $y = 1$ analizando cada rama: 1. **Rama 1 ($x \lt 0$):** $x^2 = 1 \implies x = \pm 1$. Como esta rama solo es válida para $x \lt 0$, tomamos **$x = -1$**. 2. **Rama 2 ($0 \le x \lt 1$):** $2x = 1 \implies$ **$x = 1/2$**. 3. **Rama 3 ($x \ge 1$):** $2 = 1$ no tiene solución. El recinto está limitado entre $x = -1$ y $x = 1/2$. En este intervalo, la recta $y=1$ está por encima de la función $f(x)$ (puedes comprobarlo evaluando $f(-0.5)=0.25 \lt 1$ y $f(0.25)=0.5 \lt 1$). El área será: $$A = \int_{-1}^{1/2} [1 - f(x)] \, dx$$ Debido a la definición a trozos, dividimos la integral en el punto de cambio $x = 0$.

Calculamos el área mediante la suma de dos integrales: **1. Tramo desde $x = -1$ hasta $x = 0$:** $$\int_{-1}^{0} (1 - x^2) \, dx = \left[ x - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{0} = (0 - 0) - \left( -1 - \frac{(-1)^3}{3} \right) = -\left( -1 + \frac{1}{3} \right) = -\left( -\frac{2}{3} \right) = \frac{2}{3}$$ **2. Tramo desde $x = 0$ hasta $x = 1/2$:** $$\int_{0}^{1/2} (1 - 2x) \, dx = \left[ x - x^2 \right]_{0}^{1/2} = \left( \frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2}\right)^2 \right) - (0) = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$$ 💡 **Tip:** Al aplicar la Regla de Barrow, asegúrate de restar correctamente el límite inferior: $F(b) - F(a)$.

Sumamos ambas áreas parciales para obtener el área total del recinto: $$A = \frac{2}{3} + \frac{1}{4} = \frac{8 + 3}{12} = \frac{11}{12}$$ El área del recinto es de **$\frac{11}{12}$ unidades cuadradas**. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A = \frac{11}{12} \approx 0.9167 \text{ u}^2}$$