Optimización de dimensiones de una página

Para resolver este problema de optimización, empezamos definiendo las dimensiones de la página: - Sea $x$ la anchura total de la página (en $\text{cm}$). - Sea $y$ la altura total de la página (en $\text{cm}$). El enunciado nos indica que el área total de la página debe ser de $600 \text{ cm}^2$, por lo que tenemos la siguiente restricción: $$x \cdot y = 600 \implies y = \frac{600}{x}$$ Además, dado que existen márgenes, debemos considerar que $x > 4$ (para que quede espacio tras restar los márgenes laterales de $2 \text{ cm}$ cada uno) e $y > 8$ (para los márgenes superior e inferior de $4 \text{ cm}$ cada uno). 💡 **Tip:** En problemas de optimización con restricciones, el primer paso es siempre escribir la ecuación que relaciona las variables para poder expresar la función a optimizar con una sola incógnita.

El área impresa ($A$) es el área del rectángulo interior una vez restados los márgenes: - La anchura impresa será: $x - 2 - 2 = x - 4$. - La altura impresa será: $y - 4 - 4 = y - 8$. La función que queremos maximizar es el área impresa: $$A = (x - 4) \cdot (y - 8)$$ Sustituimos la relación $y = \frac{600}{x}$ obtenida en el paso anterior para que la función dependa solo de $x$: $$A(x) = (x - 4) \left( \frac{600}{x} - 8 \right)$$ Operamos para simplificar la expresión: $$A(x) = x \cdot \frac{600}{x} - 8x - \frac{2400}{x} + 32$$ $$A(x) = 600 - 8x - \frac{2400}{x} + 32 = 632 - 8x - \frac{2400}{x}$$ $$\boxed{A(x) = 632 - 8x - \frac{2400}{x}}$$

Para maximizar el área, calculamos la primera derivada de $A(x)$ y la igualamos a cero: $$A'(x) = -8 - 2400 \cdot \left( -\frac{1}{x^2} \right) = -8 + \frac{2400}{x^2}$$ Igualamos a cero para hallar los puntos críticos: $$-8 + \frac{2400}{x^2} = 0 \implies 8 = \frac{2400}{x^2} \implies 8x^2 = 2400$$ $$x^2 = \frac{2400}{8} = 300$$ $$x = \sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}$$ (Descartamos la solución negativa $x = -10\sqrt{3}$ ya que las dimensiones deben ser positivas). Valor aproximado: $x \approx 17.32 \text{ cm}$. 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $\frac{k}{x}$ es $-\frac{k}{x^2}$. Aquí la usamos para derivar $-\frac{2400}{x}$.

Debemos comprobar que en $x = 10\sqrt{3}$ existe un máximo relativo. Utilizaremos la segunda derivada: $$A''(x) = \left( -8 + 2400x^{-2} \right)' = -4800x^{-3} = -\frac{4800}{x^3}$$ Evaluamos en nuestro punto crítico: $$A''(10\sqrt{3}) = -\frac{4800}{(10\sqrt{3})^3} < 0$$ Como la segunda derivada es negativa, confirmamos que en $x = 10\sqrt{3}$ hay un **máximo relativo**. También podemos observar el cambio de signo de la primera derivada: $$\begin{array}{c|ccc} x & (4, 10\sqrt{3}) & 10\sqrt{3} & (10\sqrt{3}, 75) \\\hline A'(x) & + & 0 & - \end{array}$$ La función crece antes de $10\sqrt{3}$ y decrece después, lo que confirma el máximo.

Una vez hallada la anchura $x$, calculamos la altura $y$ usando la relación del primer paso: $$y = \frac{600}{x} = \frac{600}{10\sqrt{3}} = \frac{60}{\sqrt{3}}$$ Racionalizamos multiplicando por $\sqrt{3}$ arriba y abajo: $$y = \frac{60\sqrt{3}}{3} = 20\sqrt{3}$$ Valor aproximado: $y \approx 34.64 \text{ cm}$. Las dimensiones de la página para que el área impresa sea máxima son: - Anchura: $10\sqrt{3} \text{ cm}$ - Altura: $20\sqrt{3} \text{ cm}$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = 10\sqrt{3} \text{ cm} \approx 17.32 \text{ cm}, \quad y = 20\sqrt{3} \text{ cm} \approx 34.64 \text{ cm}}$$