Plano que contiene a una recta y recta perpendicular

**a) Determine el plano $\pi$ que contiene a $r$ y pasa por el origen de coordenadas.** Para determinar el plano $\pi$, necesitamos un punto y dos vectores directores (o un punto y el vector normal). Como el plano contiene a la recta $r$, podemos usar un punto de la recta y su vector director. La recta $r$ viene dada por la intersección de dos planos: $$r: \begin{cases} 2x - y - 5 = 0 \\ x + z - 2 = 0 \end{cases}$$ **1. Hallamos un punto $Q$ de la recta $r$:** Si damos el valor $x = 0$: $-y - 5 = 0 \implies y = -5$ $0 + z - 2 = 0 \implies z = 2$ Obtenemos el punto $Q(0, -5, 2)$. **2. Hallamos el vector director $\vec{v}_r$:** Se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores normales de los planos que definen la recta: $\vec{n}_1 = (2, -1, 0)$ y $\vec{n}_2 = (1, 0, 1)$. $$\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$ Calculamos por Sarrus: $$\vec{v}_r = \vec{i}(-1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) - \vec{j}(2 \cdot 1 - 0 \cdot 1) + \vec{k}(2 \cdot 0 - (-1) \cdot 1)$$ $$\vec{v}_r = -1\vec{i} - 2\vec{j} + 1\vec{k} = (-1, -2, 1)$$ 💡 **Tip:** El vector director de una recta expresada como intersección de dos planos es siempre perpendicular a ambos vectores normales.

El plano $\pi$ contiene al origen $O(0, 0, 0)$ y a la recta $r$. Por tanto, los elementos del plano son: - Punto: $O(0, 0, 0)$. - Vector 1: El vector director de la recta, $\vec{u} = \vec{v}_r = (-1, -2, 1)$. - Vector 2: El vector que une el origen con el punto $Q$ de la recta, $\vec{v} = \vec{OQ} = (0-0, -5-0, 2-0) = (0, -5, 2)$. La ecuación implícita del plano se obtiene resolviendo el determinante: $$\pi: \begin{vmatrix} x - 0 & y - 0 & z - 0 \\ -1 & -2 & 1 \\ 0 & -5 & 2 \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos el determinante: $$x \cdot \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ -5 & 2 \end{vmatrix} - y \cdot \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} + z \cdot \begin{vmatrix} -1 & -2 \\ 0 & -5 \end{vmatrix} = 0$$ $$x(-4 - (-5)) - y(-2 - 0) + z(5 - 0) = 0$$ $$1x + 2y + 5z = 0$$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{\pi: x + 2y + 5z = 0}$$

**b) Halle la ecuación de la recta perpendicular a $\pi$ que pasa por el punto $(1,0,1)$** Buscamos una recta $s$ tal que: 1. Pasa por el punto $P(1, 0, 1)$. 2. Es perpendicular al plano $\pi: x + 2y + 5z = 0$. Si la recta $s$ es perpendicular al plano $\pi$, el vector director de la recta $\vec{v}_s$ debe ser paralelo (o igual) al vector normal del plano $\vec{n}_\pi$. De la ecuación de $\pi$, extraemos el vector normal: $$\vec{n}_\pi = (1, 2, 5)$$ Por tanto, tomamos como vector director de la recta: $$\vec{v}_s = (1, 2, 5)$$ 💡 **Tip:** Para una recta perpendicular a un plano $Ax + By + Cz + D = 0$, el vector director de la recta es $(A, B, C)$.

Con el punto $P(1, 0, 1)$ y el vector director $\vec{v}_s = (1, 2, 5)$, escribimos la ecuación de la recta en forma paramétrica: $$s: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2\lambda \\ z = 1 + 5\lambda \end{cases}$$ También podemos expresarla en forma continua: $$\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z - 1}{5}$$ Cualquiera de las formas es válida, pero la paramétrica es muy común para definir rectas en el espacio. ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{s: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2\lambda \\ z = 1 + 5\lambda \end{cases}}$$