Invertibilidad de una matriz con parámetros

**a) Obtenga los valores del número real $a$ para los que $A$ tiene matriz inversa.** Para que una matriz cuadrada $A$ tenga inversa, es necesario y suficiente que su determinante sea distinto de cero ($|A| \neq 0$). 💡 **Recuerda:** Una matriz $A$ es invertible (o regular) si y solo si $\det(A) \neq 0$. Si $\det(A) = 0$, la matriz se llama singular y no tiene inversa.

Calculamos el determinante de la matriz $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} a+1 & 2 & a+1 \\ 0 & a-1 & 1-a \\ 1 & 1 & a \end{vmatrix}$$ Desarrollando: $$|A| = [(a+1)(a-1)(a) + 2(1-a)(1) + (a+1)(0)(1)] - [1(a-1)(a+1) + 1(1-a)(a+1) + 2(0)(a)]$$ Operamos los términos: $$|A| = [a(a^2 - 1) + 2 - 2a + 0] - [(a^2 - 1) + (1 - a^2) + 0]$$ $$|A| = a^3 - a + 2 - 2a - [a^2 - 1 + 1 - a^2]$$ $$|A| = a^3 - 3a + 2 - 0$$ $$|A| = a^3 - 3a + 2$$

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores que hacen que la matriz no tenga inversa: $$a^3 - 3a + 2 = 0$$ Probamos con divisores del término independiente ($2$) para aplicar la regla de Ruffini. Para $a=1$: $$1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$$ Dividiendo por $(a-1)$ obtenemos: $$(a-1)(a^2 + a - 2) = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado $a^2 + a - 2 = 0$: $$a = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}$$ Las soluciones son $a = 1$ y $a = -2$. Por tanto, el determinante es cero si $a=1$ o $a=-2$. La matriz tendrá inversa cuando el determinante sea distinto de cero. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A \text{ tiene inversa para todo } a \in \mathbb{R} \setminus \{-2, 1\}}$$

**b) Halle, si es posible, la matriz inversa de $A$ en el caso $a = 0$.** Primero, comprobamos si para $a=0$ la matriz es invertible. Como $0 \neq -2$ y $0 \neq 1$, sabemos que **existe** $A^{-1}$. Sustituimos $a=0$ en la matriz $A$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ Calculamos su determinante sustituyendo en la expresión obtenida en el apartado anterior $|A| = a^3 - 3a + 2$: $$|A| = 0^3 - 3(0) + 2 = 2$$ 💡 **Tip:** La fórmula para la matriz inversa es $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A)^T$.

Calculamos los adjuntos $A_{ij}$ de cada elemento de la matriz $A$: $A_{11} = +\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0 - 1 = -1$ $A_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -(0 - 1) = 1$ $A_{13} = +\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 0 - (-1) = 1$ $A_{21} = -\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -(0 - 1) = 1$ $A_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0 - 1 = -1$ $A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -(1 - 2) = 1$ $A_{31} = +\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 2 - (-1) = 3$ $A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -(1 - 0) = -1$ $A_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = -1 - 0 = -1$ La matriz de adjuntos es: $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 3 & -1 & -1 \end{pmatrix}$$

Transponemos la matriz de adjuntos: $$\text{Adj}(A)^T = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$$ Finalmente, aplicamos la fórmula $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A)^T$: $$A^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -1 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$$ Podemos expresar el resultado como: ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} -1/2 & 1/2 & 3/2 \\ 1/2 & -1/2 & -1/2 \\ 1/2 & 1/2 & -1/2 \end{pmatrix}}$$